Japan IMO Selection Camp 2019 — Selection Camp

Pairs (n,k) where some s gives sn, sk equal divisor counts

Find all pairs $(n,k)$ of positive integers with $n\ne k$ satisfying the following condition: there exists a positive integer $s$ such that the number of positive divisors of $sn$ equals the number of positive divisors of $sk$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I coppie (n,k) in cui alcuni s danno sn, sk uguale numero di divisori

Trovare tutte le coppie $(n,k)$ di integri positivi con $n\ne k$ che soddisfano la seguente condizione: esiste un intero positivo $s$ tale che il numero di divisori positivi di $sn$ sia uguale al numero di divisori positivi di $sk$.

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Max of a_2018 - a_2017 for an averaging recurrence

Let $a_0,a_1,a_2,\dots$ be a real sequence satisfying $a_0=0$ and $a_1=1$. Suppose that for every integer $n$ with $n\ge 2$ there exists an integer $k$ with $1\le k\le n$ such that $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots +a_{n-k}}{k}.$ Find the maximum possible value of $a_{2018}-a_{2017}$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Max di a_2018 - a_2017 per una ricorrenza media

Che $a_0,a_1,a_2,\dots$ sia una sequenza reale che soddisfi $a_0=0$ e $a_1=1$. Supponiamo che per ogni intero $n$ con $n\ge 2$ esista un intero $k$ con $1\le k\le n$ tale che $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots +a_{n-k}}{k}.$ Trova il valore massimo possibile di $a_{2018}-a_{2017}$.

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Triangle from perpendiculars at circumcenters of AOP,BOP,COP tangent to OP

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcenter $O$ and circumcircle $\Omega$. Let $P$ be a point on $\Omega$ other than $A$, $B$, $C$ and other than the reflections of $A$, $B$, $C$ in $O$. Let $O_A$, $O_B$, $O_C$ be the circumcenters of triangles $AOP$, $BOP$, $COP$, respectively. Let $l_A$, $l_B$, $l_C$ be the lines passing through $O_A$, $O_B$, $O_C$ and perpendicular to $BC$, $CA$, $AB$, respectively. Prove that the circumcircle of the triangle formed by the lines $l_A$, $l_B$, $l_C$ is tangent to the line $OP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo da perpendicolari ai circoncenti di AOP, BOP, COP tangente a OP

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con il centro circostante $O$ e il circoncircolo $\Omega$. Il $P$ deve essere un punto su $\Omega$ diverso da $A$, $B$, $C$ e diverso dai riflessi di $A$, $B$, $C$ in $O$. I circoncenti dei triangoli $AOP$, $BOP$ e $COP$ siano rispettivamente $O_A$, $O_B$ e $O_C$. Le linee $l_A$, $l_B$, $l_C$ siano le linee che attraversano $O_A$, $O_B$, $O_C$ e perpendicolari rispettivamente a $BC$, $CA$ e $AB$. Prova che il circoncircolo del triangolo formato dalle linee $l_A$, $l_B$, $l_C$ è tangente alla linea $OP$.

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All f on positive rationals with f(x^2 f(y)^2)=f(x)^2 f(y)

Find all functions $f$ defined on the positive rationals and taking positive rational values such that, for all positive rationals $x$ and $y$, $f(x^{2}f(y{)}^2)=f(x{)}^{2}f(y).$

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Tutti f su razionali positivi con f(x^2 f(y) ^2) = f(x) ^2 f(y) *

Trova tutte le funzioni $f$ definite sui razionali positivi e prendi valori razionali positivi in modo tale che, per tutti i razionali positivi $x$ e $y$, $f(x^{2}f(y{)}^2)=f(x{)}^{2}f(y).$

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Good numbers 2^n+2^{floor(n/2)}: sums and non-sums of distinct good numbers

Call an integer a \textit{good number} if it can be written, using a nonnegative integer $n$, in the form $2^n+2^{\lfloor n/2\rfloor }$. (Here $\lfloor r\rfloor$ denotes the greatest integer not exceeding the real number $r$.)

(1) Prove that there exist infinitely many good numbers that can be expressed as a sum of two or more distinct good numbers.

(2) Prove that there exist infinitely many good numbers that cannot be expressed as a sum of two or more distinct good numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Buoni numeri 2^n+2^{piano(n/2)}: somme e non somme di numeri buoni distinti

Chiamare un intero un \textit{buono numero} se può essere scritto, utilizzando un intero non negativo $n$, nella forma $2^n+2^{\lfloor n/2\rfloor }$. (Qui $\lfloor r\rfloor$ indica il più grande numero intero non superiore al numero reale $r$.)

(1) Prove che ci sono infiniti numeri buoni che possono essere espressi come la somma di due o più numeri buoni distinti.

(2) Prove che esistono infiniti numeri buoni che non possono essere espressi come una somma di due o più numeri buoni distinti.

src_selection_camp_2019__Q05

Min meal vouchers in a one-match-per-day round robin of 2k players

Let $k$ be a positive integer. The IMO venue holds a chess tournament with $2k$ players. One match is played per day, and over the whole tournament every pair of players plays exactly one match. Each player stays at the IMO venue from the day of their first match through the day of their last match. Each day, the IMO venue issues a number of meal vouchers equal to the number of players staying at the venue that day. Find the minimum possible value of the total number of meal vouchers the IMO venue issues.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Conteggio, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Voucher per il pasto min in una rotonda di 2k giocatori per una partita giornaliera *

$k$ sia un numero intero positivo. L’OIM organizza un torneo di scacchi con giocatori $2k$. Si gioca una partita al giorno, e durante tutto il torneo ogni coppia di giocatori gioca esattamente una partita. Ogni giocatore si trova presso la sede dell’IMO dal giorno della sua prima partita fino al giorno della sua ultima. Ogni giorno, la sede dell’IMO emette un numero di voucher per il pasto pari al numero di giocatori che soggiornano nella sede quel giorno. Trovare il valore minimo possibile del numero totale di buoni di pasto emessi dall’IMO.

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Min moves to gather n stones onto cell n via right shifts of up to k

Let $n$ be a positive integer. There is a board of $n+1$ cells arranged in a single row, numbered $0,1,\dots ,n$ from left to right. Initially $n$ stones are placed on cell $0$, and the other cells have no stones. Consider repeating the following operation. Choose a cell containing at least one stone and one stone on it; letting $k$ be the number of stones on that cell, move that stone to the right by at least $1$ and at most $k$ cells. Prove that, in order to reach the position in which $n$ stones are placed on cell $n$, the operation must be performed at least $\lceil \frac{n}{1}\rceil +\lceil \frac{n}{2}\rceil +\cdots +\lceil \frac{n}{n}\rceil$ times. (Here $\lceil r\rceil$ denotes the smallest integer not less than the real number $r$.)

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Min si muove per raccogliere n pietre sulla cella n tramite spostamenti a destra fino a k

$n$ sia un numero intero positivo. C’è una tabella di celle $n+1$ disposte in una singola riga, numerata $0,1,\dots ,n$ da sinistra a destra. Inizialmente le pietre $n$ vengono posizionate sulla cella $0$, e le altre celle non hanno pietre. Considerate di ripetere la seguente operazione. Selezionare una cella contenente almeno una pietra e una pietra su di essa; lasciando $k$ il numero di pietre su quella cella, spostare quella pietra a destra almeno $1$ e al massimo $k$ cellule. Prova che, per raggiungere la posizione in cui le pietre $n$ sono collocate sulla cella $n$, l’operazione deve essere eseguita almeno $\lceil \frac{n}{1}\rceil +\lceil \frac{n}{2}\rceil +\cdots +\lceil \frac{n}{n}\rceil$ volte. (Qui $\lceil r\rceil$ indica il numero intero più piccolo non inferiore al numero reale $r$.)

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F,M,L,O concyclic with perpendicular bisectors of BD,CE

Let $O$ be the circumcenter of an acute triangle $ABC$. On sides $AB$ and $AC$ (endpoints excluded) take points $D$ and $E$ respectively, so that lines $BC$ and $DE$ are not parallel, and let $F$ be the intersection of lines $BC$ and $DE$. Let $K$ be the intersection of the perpendicular bisector of $BD$ and the perpendicular bisector of $CE$, and let $L$ be the intersection of line $KO$ with $BC$. Let $M$ be the intersection of lines $AO$ and $DE$. Prove that the four points $F$, $M$, $L$, $O$ lie on a common circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

F,M,L,O conciclico con bisettieri perpendicolari di BD,CE

Che $O$ sia il centro circundante di un triangolo acuto $ABC$. Sul lato $AB$ e $AC$ (ponti finali esclusi) prendere i punti $D$ e $E$ rispettivamente, in modo che le linee $BC$ e $DE$ non siano parallele, e che $F$ sia l’intersezione delle linee $BC$ e $DE$. Il $K$ è l’intersezione del bisettore perpendicolare di $BD$ e del bisettore perpendicolare di $CE$, e il $L$ è l’intersezione della linea $KO$ con $BC$. $M$ sia l’intersezione delle linee $AO$ e $DE$. Prove che i quattro punti $F$, $M$, $L$, $O$ si trovano su un cerchio comune.

src_selection_camp_2019__Q08

If P(P(x)) and P(P(P(x))) are integer-coeff then P is too

Let $P(x)$ be a polynomial with rational coefficients, and suppose that $P(P(x))$ and $P(P(P(x)))$ are polynomials with integer coefficients. Prove that $P(x)$ also has integer coefficients.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Se P(P(x)) e P(P(P(x))) sono coef interi, allora P è troppo

Diciamo che $P(x)$ sia un polinomio con coefficienti razionali, e supponiamo che $P(P(x))$ e $P(P(P(x)))$ siano polinomi con coefficienti interi. Provare che $P(x)$ ha anche dei coefficienti interi.

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Isosceles ABC, PA parallel BC; angle condition gives A,P,X,Y concyclic

Let $ABC$ be a triangle with $AB=AC$, and let $M$ be the midpoint of $BC$. Take a point $P$ such that $PA$ is parallel to $BC$ and $PB<PC$. On lines $PB$ and $PC$ take points $X$ and $Y$ respectively, so that $P$, $B$, $X$ lie in this order and $P$, $C$, $Y$ lie in this order. Suppose that $\angle PXM=\angle PYM$ holds. Prove that the four points $A$, $P$, $X$, $Y$ lie on a common circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Isoceles ABC, PA parallelo BC; condizione angolare dà A,P,X,Y conciclica

$ABC$ sia un triangolo con $AB=AC$, e $M$ sia il punto medio di $BC$. Prendiamo un punto $P$ tale che $PA$ sia parallelo a $BC$ e $PB<PC$. sulle linee $PB$ e $PC$ prendere i punti $X$ e $Y$ rispettivamente, in modo che $P$, $B$, $X$ si trovino in questo ordine e $P$, $C$, $Y$ si trovino in questo ordine. Supponiamo che $\angle PXM=\angle PYM$ sia valido. Provare che i quattro punti $A$, $P$, $X$, $Y$ si trovano su un cerchio comune.

src_selection_camp_2019__Q10

L/R relabel-and-move game on n+2 cells; find second-player wins

Let $n$ be a positive integer. There are $n+2$ cells arranged in a single row. On each of the $n$ cells other than the two ends, exactly one of the letters L or R is written, and a single piece is placed on one of the cells other than the two ends. The following operation is performed until the piece is placed on one of the two end cells:

• When the letter written on the cell holding the piece is L, rewrite that letter to R, then choose a cell to the left of that cell and move the piece there.
• When the letter written on the cell holding the piece is R, rewrite that letter to L, then choose a cell to the right of that cell and move the piece there.

(1) Prove that, from any starting state (the written letters and the position of the piece), only finitely many operations can be performed.

(2) Consider the game in which two players perform operations alternately and the player who performs the last operation loses. Find all starting states from which the second player can win regardless of how the first player plays.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

L/R gioco di rietichettatura e spostamento su celle n+2; trovare le vittorie del secondo giocatore

$n$ sia un numero intero positivo. Ci sono celle $n+2$ disposte in una singola riga. Su ciascuna delle celle $n$ diverse dalle due estremità, è scritta esattamente una delle lettere L o R, e un singolo pezzo è posto su una delle celle diverse dalle due estremità. L’operazione seguente è eseguita fino a quando il pezzo non è collocato su una delle due celle finali:

• Quando la lettera scritta sulla cella che tiene il pezzo è L, riscrivi quella lettera a R, poi scegli una cella a sinistra di quella cella e sposta il pezzo lì. - Quando la lettera scritta sulla cella che contiene il pezzo è R, riscrivi quella lettera a L, poi scegli una cella a destra di quella cella e sposta il pezzo lì.

(1) Prove che, a partire da qualsiasi stato di partenza (le lettere scritte e la posizione del pezzo), possono essere eseguite solo finite numerose operazioni.

(2) Considerate la partita in cui due giocatori eseguono operazioni alternativamente e il giocatore che esegue l’ultima operazione perde. Trova tutti gli stati di partenza da cui il secondo giocatore può vincere indipendentemente dal modo in cui il primo giocatore gioca.

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x^3+y, x^2+y^2, x+y^3 integers implies x,y integers

Let $x$ and $y$ be real numbers. Prove that if $x^3+y,x^2+y^2,x+y^3$ are all integers, then $x$ and $y$ are also integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

x^3+y, x^2+y^2, x+y^3 numeri interi implica x,y numeri interi

Lasciate che $x$ e $y$ siano numeri reali. Prova che se $x^3+y,x^2+y^2,x+y^3$ sono tutti numeri interi, allora $x$ e $y$ sono anche numeri interi.

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