Japan IMO Selection Camp 2021 — Selection Camp

Disjoint quadrilaterals with 3-same-1-other colored vertices

Among the $100$ vertices of a regular $100$-gon, $41$ are colored black and the remaining $59$ are colored white. Prove that one can choose $24$ convex quadrilaterals $Q_1,Q_2,\dots ,Q_{24}$, each having four of these $100$ vertices as its vertices, satisfying the following two conditions: \begin{itemize} \item No two of $Q_1,\dots ,Q_{24}$ have any common point (neither in their interiors nor on their boundaries). \item For every integer $i$ with $1\le i\le 24$, among the four vertices of $Q_i$ exactly three are of the same color and the remaining one is of the other color. \end{itemize}

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*Quadrilaterali disgiunti con vertici di 3 e 1 colore *

Tra i vertici $100$ di un normale $100$-gon, $41$ sono di colore nero e i rimanenti $59$ sono di colore bianco. Provare che si possono scegliere $24$ quadrilaterali convexi $Q_1,Q_2,\dots ,Q_{24}$, ognuno dei quali ha quattro di questi vertici $100$ come vertici, soddisfacendo le seguenti due condizioni: \begin{itemize} \item Non due di $Q_1,\dots ,Q_{24}$ hanno alcun punto in comune (ne’ nei loro interni ne’ sui loro confini). \item Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le 24$, tra i quattro vertici di $Q_i$ esattamente tre sono dello stesso colore e il rimanente è dell’altro colore. # Finire #

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Minimize a/b+b/c+c/d+d/a under (a+c)(b+d)=ac+bd

Let $a,b,c,d$ be real numbers satisfying $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Find the minimum value of $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimizzare a/b+b/c+c/d+d/a sotto (a+c)(b+d)=ac+bd

$a,b,c,d$ siano numeri reali che soddisfino $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Trova il valore minimo di $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$

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Sum-free set: some a_i fails to divide neighbors’ sum

Let $n$ be an integer with $n\ge 3$. Let $S$ be a set consisting of $n$ mutually distinct positive integers such that the sum of any two distinct elements of $S$ is never an element of $S$. Write $S=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ with $a_1<a_2<\cdots <a_n$. Prove that there exists an integer $i$ with $2\le i\le n-1$ such that $a_{i-1}+a_{i+1}$ is not divisible by $a_i$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

insieme senza somma: alcuni a_i non riescono a dividere la somma dei vicini

$n$ sia un numero intero con $n\ge 3$. Che $S$ sia un insieme composto da $n$ interamente distinti integri positivi in modo tale che la somma di due elementi distinti di $S$ non sia mai un elemento di $S$. Scrivere $S=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ con $a_1<a_2<\cdots <a_n$. Prova che esiste un intero $i$ con $2\le i\le n-1$ tale che $a_{i-1}+a_{i+1}$ non sia divisibile da $a_i$.

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Collinearity forces right angle in isosceles triangle

Let $△ABC$ be an isosceles triangle with $AB=AC$, and let $D$ be a point on side $BC$ with $BD<CD$. Drop perpendiculars from $D$ to the lines $AB$ and $AC$, and let $P$ and $Q$ be the respective feet. Suppose the perpendicular bisector of segment $PQ$ meets segment $AB$ at a point $E$, and the circumcircle of $△APQ$ meets line $AB$ at $A$ and at a second point $F$ (distinct from $A$). Prove that if $Q$, $E$, $F$ are collinear, then $\angle BAC=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le forze di collinearità hanno un angolo retto in triangolo di uguali ocelli

Che $△ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni con $AB=AC$, e che $D$ sia un punto laterale $BC$ con $BD<CD$. Perpendicolari da $D$ alle linee $AB$ e $AC$, e $P$ e $Q$ siano i rispettivi piedi. Supponiamo che il bisettore perpendicolare del segmento $PQ$ incontra il segmento $AB$ ad un punto $E$, e che il circoncircolo di $△APQ$ incontra la linea $AB$ ad un punto $A$ e ad un secondo punto $F$ (a differenza di $A$). Prova che se $Q$, $E$, $F$ sono collineari, allora $\angle BAC=90^{\circ }$.

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Lattice convex n-gon split from interior point into consecutive even areas

Find all integers $n\ge 4$ satisfying the following condition. There exist a convex $n$-gon all of whose vertices are lattice points (points whose two coordinates are both integers) and a point $P$ in its interior such that, denoting the areas of the $n$ triangles into which $P$ divides the polygon (by joining $P$ to the vertices) by $S_1,S_2,\dots ,S_n$ in some order, and letting $S$ be the area of the whole polygon, the quantities $2S_1,2S_2,\dots ,2S_n$ are consecutive integers and their largest value is divisible by $S$.

Topic: Geometria analitica, Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Lattice convex n-gon diviso dal punto interno in aree pari consecutive

Trova tutti gli enti $n\ge 4$ che soddisfano la seguente condizione. Esiste una convexa $n$-gon la cui verticale sono tutti punti reticolari (punti le cui due coordinate sono entrambe enti) e un punto $P$ nel suo interno in modo tale che, denotando le aree dei triangoli $n$ in cui $P$ divide il poligono (unendo $P$ alle verticali) da $S_1,S_2,\dots ,S_n$ in qualche ordine, e lasciando $S$ essere l’area dell’intero poligono, le quantità $2S_1,2S_2,\dots ,2S_n$ sono numeri interi consecutivi e il loro valore più grande è divisibile da $S$.

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Maximal good (row,column) pairs of a prime grid have equal row counts

Let $n$ and $m$ be prime numbers. There is a grid with $n$ rows and $m$ columns, and one positive integer is written in each cell. For the cell in row $r$ and column $c$, let $a(r,c)$ denote the integer written there. Consider an ordered pair $(R,C)$ where $R$ is a set of rows and $C$ is a set of columns. Such a pair is called \emph{good} if both of the following hold: \begin{enumerate} \item[(i)] For every row $r^{\prime }$ and every $r\in R$, there exists $c\in C$ such that $a(r,c)\le a(r^{\prime },c)$. \item[(ii)] For every column $c^{\prime }$ and every $c\in C$, there exists $r\in R$ such that $a(r,c)\le a(r,c^{\prime })$. \end{enumerate} Moreover, for a good pair $(R,C)$, suppose that $|R|+|C|$ is greater than or equal to $|R^{\prime }|+|C^{\prime }|$ for every other good pair $(R^{\prime },C^{\prime })$. When $(R,C)$ and $(R^{\prime },C^{\prime })$ are two such (maximal) good pairs, prove that the number of elements of $R$ equals the number of elements of $R^{\prime }$.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Le coppie massime di buoni (linee, colonne) di una griglia di primo grado hanno uguali numeri di righe

$n$ e $m$ siano numeri primi. C’è una griglia con righe $n$ e colonne $m$, e un intero positivo è scritto in ogni cella. Per la cella nella riga $r$ e nella colonna $c$, $a(r,c)$ indica il numero intero scritto lì. Considera una coppia ordinata $(R,C)$ in cui $R$ è un insieme di righe e $C$ è un insieme di colonne. Tale coppia è chiamata \emph{good} se entrambi i seguenti contenuti: \begin{enumerate} \item[(i)] Per ogni riga $r^{\prime }$ e per ogni $r\in R$, esiste un $c\in C$ tale che $a(r,c)\le a(r^{\prime },c)$. \item[(ii) Per ogni colonna $c^{\prime }$ e per ogni $c\in C$, esiste $r\in R$ tale che $a(r,c)\le a(r,c^{\prime })$. \end{enumerate} Inoltre, per una buona coppia $(R,C)$, supponiamo che $|R|+|C|$ sia maggiore o uguale a $|R^{\prime }|+|C^{\prime }|$ per ogni altra buona coppia $(R^{\prime },C^{\prime })$. Quando $(R,C)$ e $(R^{\prime },C^{\prime })$ sono due coppie buone (massime), dimostrare che il numero di elementi di $R$ è uguale al numero di elementi di $R^{\prime }$.

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Functional equation over the reals with nested f

Find all functions $f$ defined on the real numbers and taking real values such that, for all real numbers $x$ and $y$, $f\left(x^2+xy+y^2\right)=2x^{2}f(y)+2xf(f(y))+f\left(-x^2-x{y}^2\right)+f\left(y^2\right).$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Equazione funzionale sui reali con f * annidato

Trovare tutte le funzioni $f$ definite sui numeri reali e prendere valori reali in modo che, per tutti i numeri reali $x$ e $y$, $f\left(x^2+xy+y^2\right)=2x^{2}f(y)+2xf(f(y))+f\left(-x^2-x{y}^2\right)+f\left(y^2\right).$

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People grouped into n circles with a common-circle condition; count totals

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$. There are $n$ circles (groups), and exactly $n$ people gather at each circle, so that in total $n^2$ people surround the circles. The people belonging to any one circle are mutually distinct, and any two people who both belong to some common circle belong to exactly one circle in common. Determine, over all such configurations, how many people there can be.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Persone raggruppate in n cerchi con condizione di cerchio comune; conteggio totale

$n$ sia un numero intero con $n\ge 2$. Ci sono $n$ cerchi (gruppi), e esattamente $n$ persone si riuniscono a ogni cerchio, in modo che in totale $n^2$ persone circondano i cerchi. Le persone appartenenti a un cerchio sono reciprocamente distinte, e due persone che appartengono entrambi a un cerchio comune appartengono esattamente a un cerchio in comune. Determina, in tutte queste configurazioni, quante persone ci possono essere.

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Two circumcircles tangent in an incenter/A-excenter configuration

Let $△ABC$ be an acute triangle with $AB<AC$. Let $I$ be its incenter and let $I_A$ be the excenter lying inside angle $A$ (the $A$-excenter). The incircle of $△ABC$ touches side $BC$ at the point $D$. The line $AD$ meets the line $B{I}_A$ at $E$ and the line $C{I}_A$ at $F$. Prove that the circumcircle of $△AID$ and the circumcircle of $△I_{A}EF$ are tangent to each other. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$; the incircle is the circle that, among the circles tangent to line $BC$, line $AB$ and line $AC$, is internally tangent.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due circoncircoli tangenti in configurazione incentro/A-excentro

$△ABC$ sia un triangolo acuto con $AB<AC$. L’incentro è $I$ e l’excentro è $I_A$ situato all’interno dell’angolo $A$ (l’excentro è $A$). L’incircolo di $△ABC$ tocca il lato $BC$ al punto $D$. La linea $AD$ incontra la linea $B{I}_A$ a $E$ e la linea $C{I}_A$ a $F$. Dimostrare che il circoncircolo di $△AID$ e il circoncircolo di $△I_{A}EF$ sono tangenti tra loro. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$; l’incircolo è il cerchio che, tra i cerchi tangenti alla linea $BC$, la linea $AB$ e la linea $AC$, è tangente internamente.)

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Infinitely many primes whose island-bridge graph is disconnected

For each prime number $p$, there is a kingdom $P$ consisting of islands $1,2,\dots ,p$. For two distinct islands $n$ and $m$ of kingdom $P$, a bridge connects them if and only if $(n^2-m+1)(m^2-n+1)$ is divisible by $p$. Prove that there exist infinitely many primes $p$ for which there is a pair of two distinct islands of kingdom $P$ that cannot be reached from one another by travelling across the bridges.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Grafi Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Infinitamente molte prime il cui grafico di ponte-isola è disconnesso

Per ogni numero primo $p$, esiste un regno $P$ costituito da isole $1,2,\dots ,p$. Per due isole distinte $n$ e $m$ del regno $P$, un ponte li collega se e solo se $(n^2-m+1)(m^2-n+1)$ è divisibile da $p$. Prove che esistono infinite prime $p$ per le quali esiste una coppia di due isole distinte del regno $P$ che non possono essere raggiunte l’una dall’altra viaggiando attraverso i ponti.

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Two externally tangent circles yield collinear points A, X, Y

Let $\Gamma$ be the circumcircle of an acute triangle $ABC$ and let $I$ be its incenter. Let ${\omega }_B$ and ${\omega }_C$ be two circles that are externally tangent to each other. The circle ${\omega }_B$ is tangent to side $AC$, and the circle ${\omega }_C$ is tangent to side $AB$. Moreover ${\omega }_B$ is tangent to line $AB$ at a point $M$, and ${\omega }_C$ is tangent to line $AC$ at a point $N$. Lines $PM$ and $QN$ meet at the point $X$, and ${\omega }_B$ and ${\omega }_C$ meet at the point $Y$. Prove that $A$, $X$, $Y$ lie on a single line.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti esternamente producono punti collineari A, X, Y

Che $\Gamma$ sia il circoncircolo di un triangolo acuto $ABC$ e che $I$ sia il suo incentro. Lasciate che ${\omega }_B$ e ${\omega }_C$ siano due cerchi che siano tangenti l’uno all’altro. Il cerchio ${\omega }_B$ è tangente a lato $AC$, e il cerchio ${\omega }_C$ è tangente a lato $AB$. Inoltre ${\omega }_B$ è tangente alla linea $AB$ in un punto $M$, e ${\omega }_C$ è tangente alla linea $AC$ in un punto $N$. Le linee $PM$ e $QN$ si incontrano al punto $X$ e ${\omega }_B$ e ${\omega }_C$ si incontrano al punto $Y$. Prova che $A$, $X$, $Y$ si trovano su una singola linea.

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Functional equation on the integers using iterates of f

Find all functions $f$ defined on the integers and taking integer values such that, for all integers $a$ and $b$, $f^{a^2+b^2}(a+b)=af(a)+bf(b).$ Here $f^0(n)=n$, and for a positive integer $k$, $f^k(n)=f(f^{k-1}(n))$.

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Equazione funzionale sui numeri interi utilizzando iterazioni di f

Trova tutte le funzioni $f$ definite sui numeri interi e prendi valori di numeri interi in modo tale che, per tutti i numeri interi $a$ e $b$, $f^{a^2+b^2}(a+b)=af(a)+bf(b).$ Qui $f^0(n)=n$, e per un intero positivo $k$, $f^k(n)=f(f^{k-1}(n))$.

src_selection_camp_2021__Q12