Japan IMO Selection Camp 2024 — Selection Camp

Integer sequence with a recurrence for some fixed shift c

Let $a_1,a_2,\dots$ be positive integers. Suppose there exists an integer $c\ge 2$ such that, for every positive integer $n$, $a_{n+c}=2a_{n+1}-a_n$ holds. Find all such sequences (determine all sequences for which a suitable $c$ exists).

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Sequenza integrale con ricorrenza per alcuni spostamenti fissi c

Lasciate che $a_1,a_2,\dots$ siano numeri interi positivi. Supponiamo che esista un intero $c\ge 2$ tale che, per ogni intero positivo $n$, $a_{n+c}=2a_{n+1}-a_n$ sia valido. Trovare tutte queste sequenze (determinare tutte le sequenze per le quali esiste un $c$ adatto).

src_selection_camp_2024__Q01

Isosceles triangle, bisector and reflection, circle; prove equal angles

Let $ABC$ be an isosceles triangle with $AB=AC$. Let $D$ be the intersection of the bisector of $\angle BAC$ with side $BC$, and let $E$ be the reflection of $D$ across side $BC$. Let $F$ be a point on segment $AC$. The line through $A$ parallel to $BC$ meets line $DF$ at a point $G$. Let $P$ be the intersection of line $AB$ with line $FG$, and let $Q$ be the intersection of line $EP$ with line $FQ$ (as constructed in the figure). Lines $EP$ and $FQ$ determine points $K$, $R$, $S$, and the circumcircle of triangle $KRS$ meets a further point $X$ (with $X\ne K$). Prove that $\angle BXP=\angle CXQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo, bisettore e riflesso, cerchio; prova angoli uguali

Che $ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni con $AB=AC$. Il $D$ deve essere l’intersezione del bisettore di $\angle BAC$ con il lato $BC$, e il $E$ deve essere il riflesso di $D$ attraverso il lato $BC$. $F$ sia un punto sul segmento $AC$. La linea attraverso $A$ parallela a $BC$ incontra la linea $DF$ in un punto $G$. Il $P$ è l’intersezione della linea $AB$ con la linea $FG$, e il $Q$ è l’intersezione della linea $EP$ con la linea $FQ$ (come illustrato nella figura). Le linee $EP$ e $FQ$ determinano i punti $K$, $R$, $S$ e il circoncircolo del triangolo $KRS$ incontra un ulteriore punto $X$ (con $X\ne K$). Provare che $\angle BXP=\angle CXQ$.

src_selection_camp_2024__Q02

Complete graph of bridges partitioned into Hamiltonian-path companies; maximize companies

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$. There are $n$ islands $I_1,I_2,\dots ,I_n$, and for each pair of distinct islands there is exactly one bridge (road) connecting them, usable in both directions. Each road is managed by exactly one of several road companies. The roads are managed so that one can travel between any two islands using only roads of a single company. Suppose that, for any road company, there is a permutation $p(1),p(2),\dots ,p(n)$ of $1,2,\dots ,n$ such that that company manages exactly the roads joining $I_{p(i)}$ and $I_{p(i+1)}$ for $i=1,2,\dots ,n-1$ (i.e. each company’s roads form a Hamiltonian path on the $n$ islands). Determine the maximum possible number of road companies. Here a permutation $p(1),p(2),\dots ,p(n)$ of $1,2,\dots ,n$ means each integer from $1$ to $n$ appears exactly once.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Grafica completa dei ponti suddivisi in società del percorso di Hamilton; massimizzazione delle imprese

$n$ sia un numero intero con $n\ge 2$. Ci sono $n$ isole $I_1,I_2,\dots ,I_n$, e per ogni coppia di isole distinte esiste esattamente un ponte (strada) che le collega, utilizzabile in entrambe le direzioni. Ciascuna strada è gestita da esattamente una delle più compagnie stradali. Le strade sono gestite in modo che si possa viaggiare tra due isole utilizzando solo le strade di una singola società. Supponiamo che, per qualsiasi società stradale, vi sia una permutazione $p(1),p(2),\dots ,p(n)$ di $1,2,\dots ,n$ tale che tale società gestisca esattamente le strade che uniscono $I_{p(i)}$ e $I_{p(i+1)}$ per $i=1,2,\dots ,n-1$ (cioè: le strade di ciascuna società costituiscono un percorso hamiltoniano sulle isole $n$). Determinare il numero massimo possibile di compagnie stradali. Qui una permutazione $p(1),p(2),\dots ,p(n)$ di $1,2,\dots ,n$ significa che ogni intero da $1$ a $n$ appare esattamente una volta.

src_selection_camp_2024__Q03

Triangle, circumcircle and a circle radius r, perpendicular feet; find length XY

Let $ABC$ be a triangle with $AB<AC$, with circumcircle $\Omega$, and let $\Gamma$ be a circle of radius $r$. Let $P$ be the point with $AB=AP$ on the appropriate side, and let $D$ be the second intersection of line $PB$ with $\Omega$ (other than $B$). From $P$ drop the perpendicular to line $BC$ with foot $H$. Let $Q$ be the point on line $HP$ with $QH=r$, so that $H$, $P$, $Q$ lie on line $HP$ in this order. Let $X$ and $Y$ be the resulting intersection points (as constructed in the figure), with the feet of perpendiculars to lines $DQ$ and $AQ$. Prove the stated concurrency/coincidence and find the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo, circoncircolo e un raggio di circolo r, piedi perpendicolari; trovare lunghezza XY

$ABC$ sia un triangolo con $AB<AC$, con circoncircolo $\Omega$, e $\Gamma$ sia un cerchio di raggio $r$. Il punto $P$ è il punto con $AB=AP$ sul lato appropriato e il punto $D$ è la seconda intersezione della linea $PB$ con $\Omega$ (diversi da $B$). Da $P$ scaricare la perpendicolare alla riga $BC$ con piede $H$. Il punto $Q$ deve essere il punto della linea $HP$ con $QH=r$, in modo che $H$, $P$, $Q$ si trovino nella linea $HP$ in questo ordine. I punti di intersezione $X$ e $Y$ risultano (come illustrato nella figura), con i piedi perpendicolari alle linee $DQ$ e $AQ$. Provare la simultanea/coincidenza dichiarata e trovare la lunghezza del segmento $XY$.

src_selection_camp_2024__Q04

Functional equation with iterate exponent bf(a)*

Find all functions $f$ defined on the positive integers and taking positive integer values such that, for all positive integers $a,b$, $f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b)$ holds, where $f^k(n)$ denotes the $k$-fold iterate $\underset{k}{\underbrace{f(f(\cdots f(n)\cdots ))}}$ ($f$ applied $k$ times).

Topic: Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Equazione funzionale con esponente iterato bf(a)*

Trova tutte le funzioni $f$ definite sui numeri interi positivi e prendi valori di numeri interi positivi in modo tale che, per tutti i numeri interi positivi $a,b$, $f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b)$ si mantenga, dove $f^k(n)$ indica l’iterata moltiplicata $k$ $\underset{k}{\underbrace{f(f(\cdots f(n)\cdots ))}}$ ($f$ applicata $k$ volte).

src_selection_camp_2024__Q05

Find positive integer quadruples with 2^a 3^b + 4^c 5^d = 2^b 3^a + 4^d 5^c

Find all quadruples $(a,b,c,d)$ of positive integers satisfying $2^a{3}^b+4^c{5}^d=2^b{3}^a+4^d{5}^c.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Ricerca quadrupli interi positivi con 2^a 3^b + 4^c 5^d = 2^b 3^a + 4^d 5^c

Trova tutti i quadrupli $(a,b,c,d)$ di numeri interi positivi che soddisfano $2^a{3}^b+4^c{5}^d=2^b{3}^a+4^d{5}^c.$

src_selection_camp_2024__Q06

Longest sequence of integers in [1,2^2023] with no zero signed subsum

Find the largest positive integer $N$ such that there exists a sequence $a_1,a_2,\dots ,a_N$ satisfying both of the following: \begin{itemize} \item For every integer $i$ with $1\le i\le N$, $a_i$ is an integer with $1\le a_i\le 2^{2023}$. \item For all integers $i,j$ with $1\le i\le j\le N$ and every choice of $s_i,s_{i+1},\dots ,s_j$ each equal to $1$ or $-1$, $s_i{a}_i+s_{i+1}{a}_{i+1}+\cdots +s_j{a}_j\ne 0.$ \end{itemize}

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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La sequenza più lunga di numeri interi in [1,2^2023] senza sottosum sottoscritto a zero

Trova il più grande intero positivo $N$ in modo che esista una sequenza $a_1,a_2,\dots ,a_N$ che soddisfa entrambi i seguenti elementi: \begin{itemize} \item Per ogni intero $i$ con $1\le i\le N$, $a_i$ è un intero con $1\le a_i\le 2^{2023}$. \item Per tutti gli integri $i,j$ con $1\le i\le j\le N$ e ogni scelta di $s_i,s_{i+1},\dots ,s_j$ ognuno uguale a $1$ o $-1$, $s_i{a}_i+s_{i+1}{a}_{i+1}+\cdots +s_j{a}_j\ne 0.$ \end{itemize}

src_selection_camp_2024__Q07

Function on integer pairs making an expression a perfect square

Find all functions $f$ defined on ordered pairs of positive integers and taking positive integer values such that, for all positive integers $x,y,z$, $f(x,y{)}^2+f(y^4,z)+2x{y}^{4}z$ is a perfect square.

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Funzione su coppie di numeri interi che rende un’espressione un quadrato perfetto

Trova tutte le funzioni $f$ definite su coppie ordinate di integri positivi e prendi valori di integri positivi in modo tale che, per tutti gli integri positivi $x,y,z$, $f(x,y{)}^2+f(y^4,z)+2x{y}^{4}z$ sia un quadrato perfetto.

src_selection_camp_2024__Q08

Three permutations of 1..n approximating 2 sqrt(n) by sums of square roots

Let $n$ be a positive integer. Prove that there exist permutations $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$, $(b_1,b_2,\dots ,b_n)$, $(c_1,c_2,\dots ,c_n)$ of $(1,2,\dots ,n)$ such that for every integer $k$ with $1\le k\le n$, $\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{n}\right|<2023.$ Here $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ is a permutation of $(1,2,\dots ,n)$ if each integer from $1$ to $n$ appears exactly once among $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Topic: Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Tre permutazioni di 1..n approssimativamente 2 sqrt(n) per somma di radici quadrate

$n$ sia un numero intero positivo. Prova che esistono permutazioni $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$, $(b_1,b_2,\dots ,b_n)$, $(c_1,c_2,\dots ,c_n)$ di $(1,2,\dots ,n)$ in modo tale che per ogni intero $k$ con $1\le k\le n$, $\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{n}\right|<2023.$ qui $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ è una permutazione di $(1,2,\dots ,n)$ se ogni intero da $1$ a $n$ appare esattamente una volta tra $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

src_selection_camp_2024__Q09

Existence of increasing sequence with divisibility and prime-divisor density

Let $a_1,a_2,\dots$ be positive integers. Determine whether there exists such a sequence satisfying both of the following conditions: \begin{itemize} \item For every positive integer $k$, $a_k<a_{k+1}$, and $a_{k+1}$ divides $2(a_1+a_2+\cdots +a_k)$. \item There exists a prime $p$ such that infinitely many of the terms $a_1,a_2,\dots$ are divisible by $p$. \end{itemize} Determine whether such a sequence $a_1,a_2,\dots$ exists.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Ricorsione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Esistenza di sequenza in aumento con divisibilità e densità di primo divisore

Lasciate che $a_1,a_2,\dots$ siano numeri interi positivi. Determinare se esiste una sequenza che soddisfa entrambe le seguenti condizioni: \begin{itemize} \item Per ogni intero positivo $k$, $a_k<a_{k+1}$, e $a_{k+1}$ divide $2(a_1+a_2+\cdots +a_k)$. \item Esiste un primo $p$ tale che infinitamente molti dei termini $a_1,a_2,\dots$ sono divisibili da $p$. \end{itemize} Determinare l’esistenza di tale sequenza $a_1,a_2,\dots$.

src_selection_camp_2024__Q10

n x n grid filled bijectively under a congruence; maximize adjacent +1 pairs

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$. Each cell of an $n\times n$ grid is filled with one of the distinct integers from $1$ to $n^2$, each used exactly once. Let $a_{i,j}$ be the integer written in the cell of the $i$-th row from the top and the $j$-th column from the left. Suppose the following holds: $\text{for all integers }i,j\text{ with }1\le i\le n,1\le j\le n,n\mid a_{i,j}-(i+j-1).$ Determine the maximum possible number of pairs $(i,j)$, with $1\le i\le n$ and $1\le j\le n-1$, such that $a_{i,j+1}=a_{i,j}+1$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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n x n griglia riempita bietivamente sotto una congruenza; massimizzare le coppie adiacenti +1

$n$ sia un numero intero con $n\ge 2$. Ogni cella di una griglia $n\times n$ è riempita di uno dei numeri interi distinti da $1$ a $n^2$, ciascuna utilizzata esattamente una volta. $a_{i,j}$ sia il numero intero scritto nella cella della prima riga $i$ dall’alto e della seconda colonna $j$ dalla sinistra. Supponiamo le seguenti sostanze: $\text{for all integers }i,j\text{ with }1\le i\le n,1\le j\le n,n\mid a_{i,j}-(i+j-1).$ Determinare il numero massimo possibile di coppie $(i,j)$, con $1\le i\le n$ e $1\le j\le n-1$, in modo tale che $a_{i,j+1}=a_{i,j}+1$.

src_selection_camp_2024__Q11

Acute triangle, orthocenter, circumcircles, reflection; prove four points concyclic

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB<AC$, and let $H$ be its orthocenter. Let $D$ be a point on side $BC$ (excluding its endpoints) with $AB=AD$, and let $P$ be a point on segment $BD$ (excluding its endpoints). Line $BH$ meets the circumcircle of triangle $ABC$ again at a point $E$ (with $E\ne B$). Let $Q$ be the second intersection (other than $D$) of the circumcircle of triangle $ABD$ and the circumcircle of triangle $DHP$, and let $Q^{\prime }$ be the reflection of $Q$ across line $AB$. Prove that the four points $B$, $E$, $P$, $Q^{\prime }$ lie on a common circle (are concyclic). Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Triangolo acuto, centro ortografico, circoncircoli, riflessione; prova quattro punti conciclici

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo acuto con $AB<AC$, e lasciate che $H$ sia il suo centro orto. Il $D$ deve essere un punto sul lato $BC$ (esclusi i suoi punti di fine) con $AB=AD$, e il $P$ deve essere un punto sul segmento $BD$ (esclusi i suoi punti di fine). La linea $BH$ incontra nuovamente il circoncircolo del triangolo $ABC$ in un punto $E$ (con $E\ne B$). Il $Q$ è la seconda intersezione (diversi da $D$) del circoncircolo del triangolo $ABD$ e del circoncircolo del triangolo $DHP$, e il $Q^{\prime }$ è il riflesso di $Q$ attraverso la linea $AB$. Prova che i quattro punti $B$, $E$, $P$, $Q^{\prime }$ si trovano su un cerchio comune (sono conciclici). Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_selection_camp_2024__Q12