Japan IMO Selection Camp 2025 — Selection Camp

Find c so every finite set has a,b,e with e dividing a+b+2c

Find all positive integers $c$ with the following property: for every nonempty finite set $\mathcal{S}$ of positive integers, there exist (not necessarily distinct) elements $a,b$ of $\mathcal{S}$ and an element $e$ of $\mathcal{S}$ such that $a+b+2c$ is divisible by $e$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Trova c così ogni insieme finito ha a,b,e con e dividendo a+b+2c

Trovare tutti gli integri positivi $c$ con la seguente proprietà: per ogni insieme finito non vuoto $\mathcal{S}$ di integri positivi, esistono (non necessariamente distinti) elementi $a,b$ di $\mathcal{S}$ e un elemento $e$ di $\mathcal{S}$ tale che $a+b+2c$ sia divisibile da $e$.

src_selection_camp_2025__Q01

Triangle, incircle tangency construction; prove two lines parallel

Let $ABC$ be a triangle with incircle $\omega$. Points $D$ and $E$ lie on sides $AB$ and $AC$ respectively (not at the endpoints), and $\omega$ is also tangent to line $DE$, touching it at a point $P$. Let $M$ be the midpoint of arc $BC$ of the circumcircle, and let $Q$ be the second intersection of line $MP$ with $\omega$. Let $B^{\prime }$ be the second intersection of line $DM$ with $\omega$ and $C^{\prime }$ the second intersection of line $EM$ with $\omega$, with $B^{\prime }\ne C^{\prime }$, and suppose $A$ and $Q$ lie on the same side of line $BC$. Let $O$ be the incenter of triangle $DEM$, and let $Q^{\prime }$ be the point on $\omega$ with $B^{\prime }{Q}^{\prime }:C^{\prime }{Q}^{\prime }=BQ:CQ$. Prove that line $MO$ is parallel to line $Q{Q}^{\prime }$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo, costruzione di tangenza incircolare; dimostrare due linee parallele

$ABC$ sia un triangolo con incircolo $\omega$. I punti $D$ e $E$ si trovano rispettivamente sui lati $AB$ e $AC$ (non nei punti finali), e $\omega$ è anche tangente alla linea $DE$, toccandola in un punto $P$. Il $M$ deve essere il punto medio dell’arco $BC$ del circoncircolo e il $Q$ deve essere il secondo incrocio della linea $MP$ con $\omega$. Se $B^{\prime }$ è la seconda intersezione della linea $DM$ con $\omega$ e $C^{\prime }$ è la seconda intersezione della linea $EM$ con $\omega$, con $B^{\prime }\ne C^{\prime }$, e supponiamo che $A$ e $Q$ si trovino sullo stesso lato della linea $BC$. Let $O$ essere il centro del triangolo $DEM$, e let $Q^{\prime }$ essere il punto su $\omega$ con $B^{\prime }{Q}^{\prime }:C^{\prime }{Q}^{\prime }=BQ:CQ$. Prova che la riga $MO$ è parallela alla riga $Q{Q}^{\prime }$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

src_selection_camp_2025__Q02

n x n grid, 2x2 operation from one black cell; find all n fully colorable

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$, and consider an $n\times n$ grid of cells. Initially exactly one cell in the top row is colored black, and all other cells are white. The following operation may be repeated: choose a $2\times 2$ block of cells in which exactly one cell is currently colored black, and color the remaining $3$ cells of that block black. Determine all $n$ for which it is possible, by repeating this operation, to reach a state in which every cell of the grid is black.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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n x n grid, operazione 2x2 da una sola cella nera; trovare tutte le n completamente colorabili

Lasciamo $n$ essere un intero con $n\ge 2$, e consideriamo una griglia di celle $n\times n$. Inizialmente esattamente una cellula nella riga superiore è di colore nero, e tutte le altre cellule sono bianche. Si può ripetere la seguente operazione: scegliere un blocco di celle $2\times 2$ in cui esattamente una cellula è attualmente colorata in nero e colorare le cellule $3$ rimanenti di quel blocco in nero. Determinare tutte le $n$ per le quali è possibile, ripetendo questa operazione, raggiungere uno stato in cui ogni cella della griglia è nera.

src_selection_camp_2025__Q03

n students, n races, badge (a,b) for exactly a top-b finishes; maximize total score

Let $n$ be a positive integer. Each of $n$ students runs in $n$ races. In each race all $n$ students are assigned distinct ranks (no two students share a rank). For a pair of positive integers $(a,b)$, a student is said to hold the title $(a,b)$ if the student finishes among the top $b$ in exactly $a$ of the $n$ races. A student’s score is defined as the maximum value of $a-b$ over all titles $(a,b)$ that the student holds. Determine the maximum possible value of the sum of the scores of all $n$ students.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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*n studenti, n gare, distintivo (a,b) per esattamente un top-b; massimizzazione del punteggio totale *

$n$ sia un numero intero positivo. Ciascuno degli studenti $n$ corre in gare $n$. In ciascuna gara a tutti gli studenti $n$ vengono assegnati ranghi distinti (non due studenti condividono un rank). Per una coppia di integri positivi $(a,b)$, si dice che uno studente abbia il titolo $(a,b)$ se lo studente finisce tra i migliori $b$ in esattamente $a$ delle gare $n$. Il punteggio di uno studente è definito come il valore massimo di $a-b$ su tutti i titoli $(a,b)$ che lo studente detiene. Determinare il valore massimo possibile della somma dei punteggi di tutti gli studenti $n$.

src_selection_camp_2025__Q04

Find subsets S of powers of 2 realizable as image of f(a+b)-f(a)-f(b)

Determine all subsets $\mathcal{S}$ of $\{2^0,2^1,2^2,\dots \}$ with the following property: there exists a function $f$ from the positive integers to the positive integers such that the set of integers of the form $f(a+b)-f(a)-f(b)$, as $a$ and $b$ range over all positive integers, equals $\mathcal{S}$.

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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*Ricerca sottoinsiemi S di potenze di 2 realizzabili come immagine di f(a+b)-f(a)-f(b) *

Determinare tutti i sottogruppi $\mathcal{S}$ di $\{2^0,2^1,2^2,\dots \}$ con la seguente proprietà: esiste una funzione $f$ dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi in modo tale che l’insieme di numeri interi della forma $f(a+b)-f(a)-f(b)$, come $a$ e $b$ si estende su tutti gli enti interi positivi, è uguale a $\mathcal{S}$.

src_selection_camp_2025__Q05

Triangle with incenter, arc-midpoints and auxiliary circles; prove tangency

Let $ABC$ be a triangle with $AB<AC<BC$ and incenter $I$. Lines $AI$, $BI$, $CI$ meet the circumcircle of $ABC$ again (at the point other than $A$, $B$, $C$) at $M_A$, $M_B$, $M_C$ respectively. Using these points, an auxiliary point $X$ and further points $P$, $Q$ are constructed via additional lines and circles through $M_A$, $M_B$, $M_C$ (see figure). Prove the resulting tangency / collinearity stated in the figure. (Here $UV$ denotes the length of segment $UV$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo con incentro, centri-arco e cerchi ausiliari; prova di tangenza

Il $ABC$ deve essere un triangolo con $AB<AC<BC$ e incentro $I$. Le linee $AI$, $BI$, $CI$ incontrano nuovamente il circoncircolo di $ABC$ (al punto diverso da $A$, $B$, $C$) rispettivamente a $M_A$, $M_B$ e $M_C$. Utilizzando questi punti, un punto ausiliario $X$ e ulteriori punti $P$, $Q$ sono costruiti attraverso linee e cerchi aggiuntivi attraverso $M_A$, $M_B$, $M_C$ (vedere figura). Provare la tangenza / collinearità risultante indicata nella figura. (Qui $UV$ indica la lunghezza del segmento $UV$.)

src_selection_camp_2025__Q06

Sequence: each new term is mean of above-average terms; prove eventual constancy

A sequence of positive integers $a_1,a_2,\dots$ satisfies the following condition for every integer $n$ with $n\ge 2024$: $a_{n+1}$ equals the average of those terms among $a_1,a_2,\dots ,a_n$ that are greater than or equal to the mean $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$. Prove that for every integer $n$ with $n>2024$, we have $a_n=a_{2025}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Invarianti, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Sequenza: ogni nuovo termine è la media di termini superiori alla media; dimostrare la costanza finale

Una sequenza di integri positivi $a_1,a_2,\dots$ soddisfa la seguente condizione per ogni numero intero $n$ con $n\ge 2024$: $a_{n+1}$ è uguale alla media di quegli termini tra $a_1,a_2,\dots ,a_n$ che sono superiori o uguali alla media $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$. Prova che per ogni intero $n$ con $n>2024$, abbiamo $a_n=a_{2025}$.

src_selection_camp_2025__Q07

1000 points, triangle-with-interior-point sets, linear weights; max beautiful sets

In the plane there are $1000$ points, no three collinear, called good points. A set is called beautiful if it consists of a triangle whose three vertices are good points together with exactly one good point lying strictly inside that triangle. Suppose one can assign a real number to each good point so that the following two conditions both hold: (1) there exist two good points whose assigned numbers differ (i.e. the assignment is not constant); (2) for every beautiful set, the number assigned to its interior good point equals the average of the numbers assigned to the triangle’s three vertices. Determine the maximum possible number of beautiful sets.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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1000 punti, set di punti triangolari con punti interni, pesi lineari; set magnifici mass

Nel piano ci sono punti $1000$, non tre collineari, chiamati punti buoni. Un insieme si chiama bello se è costituito da un triangolo le cui tre vertici sono punti buoni insieme con esattamente un punto buono che si trova rigorosamente all’interno di quel triangolo. Supponiamo che si possa assegnare un numero reale a ciascun punto buono in modo che si applichino entrambe le seguenti due condizioni: (1) esistono due punti buoni i cui numeri assegnati differiscono (cioè l’assegnazione non è costante); (2) per ogni insieme bello, il numero assegnato al suo punto buono interno è uguale alla media dei numeri assegnati ai tre vertici del triangolo. Determina il massimo numero possibile di set belli.

src_selection_camp_2025__Q08

f on positive integers: coprimality equivalent to a multiplicative identity; find f(n)

Consider functions $f$ from the positive integers to the positive integers such that for all positive integers $m,n$, the following two statements are equivalent: $m$ and $n$ are coprime, and $f(mn{)}^2=f(m^2)f(n)f(n)$ (that is, $f(mn{)}^2=f(m^2)f(n{)}^2$). For each positive integer $n$, determine all possible values of $f(n)$.

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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*f sui numeri interi positivi: coprimità equivalente a un’identità moltiplicativa; trovare f(n) *

Considerare le funzioni $f$ dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi in modo tale che per tutti i numeri interi positivi $m,n$, le seguenti due affermazioni siano equivalenti: $m$ e $n$ sono coprime, e $f(mn{)}^2=f(m^2)f(n)f(n)$ (cioè, $f(mn{)}^2=f(m^2)f(n{)}^2$). Per ogni intero positivo $n$, determinare tutti i valori possibili di $f(n)$.

src_selection_camp_2025__Q09

Cyclic pentagon, diagonal intersection points; prove concyclicity

A pentagon $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$ is inscribed in a circle. For each integer $i$ with $1\le i\le 5$, let $B_i$ be the intersection point of line $A_{i+1}{A}_{i-1}$ and line $A_{i-1}{A}_{i-2}$, where indices are taken modulo $5$ so that $A_n=A_{n+5}$. From the pentagon $B_1{B}_2{B}_3{B}_4{B}_5$ one obtains five further intersection points $I_1,I_2,I_3,I_4,I_5$ of its sides/diagonals. Prove that $I_1,I_2,I_3,I_4,I_5$ lie on a common circle. (Indices satisfy $A_n=A_{n+5}$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Pentagono ciclico, punti di intersezione diagonali; prova di conciclicità

Un pentagono $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$ è inserito in un cerchio. Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le 5$, $B_i$ deve essere il punto di intersezione della riga $A_{i+1}{A}_{i-1}$ e della riga $A_{i-1}{A}_{i-2}$, dove gli indici sono presi modulo $5$ in modo che $A_n=A_{n+5}$. Dal pentagono $B_1{B}_2{B}_3{B}_4{B}_5$ si ottengono altri cinque punti di intersezione $I_1,I_2,I_3,I_4,I_5$ dei suoi lati/diagonali. Provare che $I_1,I_2,I_3,I_4,I_5$ si trova su un cerchio comune. (L’indice soddisfa $A_n=A_{n+5}$.)

src_selection_camp_2025__Q10

Find n so every cubic P has quadratic Q with Q(k)(P(k)+Q(k)) never divisible by n

Determine all positive integers $n$ with the following property: for every degree-$3$ polynomial $P$ with integer coefficients, there exists a degree-$2$ polynomial $Q$ with integer coefficients such that for every integer $k$, the value $Q(k)(P(k)+Q(k))$ is not divisible by $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Trovare n così ogni P cubo ha Q quadratico con Q(k)(P(k) + Q(k)) mai divisibile da n

Determinare tutti i numeri interi positivi $n$ con la seguente proprietà: per ogni polinomio di grado-$3$ $P$ con coeficienti interi, esiste un polinomio di grado-$2$ $Q$ con coeficienti interi in modo che per ogni intero $k$, il valore $Q(k)(P(k)+Q(k))$ non sia divisibile da $n$.

src_selection_camp_2025__Q11

Sequence with max-min spread 1 over any p+1 and any q+1 consecutive terms

Let $p$ and $q$ be distinct, mutually coprime positive integers. Determine all sequences of positive integers $a_1,a_2,\dots$ that satisfy both of the following conditions: (i) for every positive integer $n$, the difference between the largest and the smallest of $a_n,a_{n+1},\dots ,a_{n+p}$ equals $1$; (ii) for every positive integer $n$, the difference between the largest and the smallest of $a_n,a_{n+1},\dots ,a_{n+q}$ equals $1$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Casework, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Sequenza con uno spread massimo di 1 su qualsiasi p+1 e qualsiasi termine consecutivo q+1

$p$ e $q$ siano numeri interi positivi reciprocamente coprimi. Determinare tutte le sequenze di interi positivi $a_1,a_2,\dots$ che soddisfano entrambe le seguenti condizioni: (i) per ogni intero positivo $n$, la differenza tra il più grande e il più piccolo di $a_n,a_{n+1},\dots ,a_{n+p}$ è uguale a $1$; (ii) per ogni intero positivo $n$, la differenza tra il più grande e il più piccolo di $a_n,a_{n+1},\dots ,a_{n+q}$ è uguale a $1$.

src_selection_camp_2025__Q12