Senior Mathematical Challenge 2022

Simplify a product-of-differences expression involving fifth powers and factorial-style denominators.

When the expression $\frac{(2^5-1)\times (3^5-1)\times (4^5-1)\times (5^5-1)\times (6^5-1)}{(2\times 3)\times (3\times 4)\times (4\times 5)\times (5\times 6)}$ is simplified, which of the following is obtained?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 5
• (E) 6

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (D) Fonte: apri PDF

Semplificare un’espressione prodotto delle differenze che coinvolge quinte potenze e denominatori di stile fattoriale.

Quando l’espressione $\frac{(2^5-1)\times (3^5-1)\times (4^5-1)\times (5^5-1)\times (6^5-1)}{(2\times 3)\times (3\times 4)\times (4\times 5)\times (5\times 6)}$ è semplificata, quale delle seguenti è ottenuto?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 5
• (E) 6

Risposta: D src_smc_2022__Q01

Find the smallest prime that is the sum of five different primes.

What is the smallest prime which is the sum of five different primes?

• (A) 39
• (B) 41
• (C) 43
• (D) 47
• (E) 53

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (C) Fonte: apri PDF

Trova il primo più piccolo che è la somma di cinque diversi primi.

Qual è il primo più piccolo che è la somma di cinque numeri primi diversi?

• (A) 39
• (B) 41
• (C) 43
• (D) 47
• (E) 53

Risposta: C src_smc_2022__Q02

Count the number of parallelograms in a figure of a regular hexagon divided into triangles.

The figure shows a regular hexagon. How many parallelograms are there in the figure?

• (A) 2
• (B) 4
• (C) 6
• (D) 8
• (E) more than 8

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: (C) Fonte: apri PDF

Contare il numero di parallelo in una figura di esagono regolare divisa in triangoli.

La figura mostra un esagono regolare. Quanti paralleloogrammi ci sono nella figura?

• (A) 2
• (B) 4
• (C) 6
• (D) 8
• (E) più di 8

Risposta: C src_smc_2022__Q03

Two symmetrically placed squares of sides 2 and 5; find the ratio of the area of the small square to that of the shaded region.

The diagram shows two symmetrically placed squares with sides of length 2 and 5. What is the ratio of the area of the small square to that of the shaded region?

• (A) $7:24$
• (B) $1:3$
• (C) $8:25$
• (D) $8:21$
• (E) $1:2$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (D) Fonte: apri PDF

Due quadrati simmetricamente posizionati dei lati 2 e 5; trovare il rapporto tra l’area del piccolo quadrato e quella della regione ombrata.

Il diagramma mostra due quadrati posizionati simmetricamente con lati di lunghezza 2 e 5. Qual è il rapporto tra l’area del piccolo quadrato e quella della regione ombrosa?

• (A) $7:24$
• (B) $1:3$
• (C) $8:25$
• (D) $8:21$
• (E) $1:2$

Risposta: D src_smc_2022__Q04

Evaluate the sum of five reciprocals 1/1.01 + 1/1.1 + 1/1 + 1/11 + 1/101.

What is the value of $\frac{1}{1.01}+\frac{1}{1.1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{11}+\frac{1}{101}$?

• (A) 2.9
• (B) 2.99
• (C) 3
• (D) 3.01
• (E) 3.1

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (C) Fonte: apri PDF

Valutare la somma di cinque reciprocità 1/1.01 + 1/1.1 + 1/1 + 1/11 + 1/101.*

Qual è il valore di $\frac{1}{1.01}+\frac{1}{1.1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{11}+\frac{1}{101}$?

• (A) 2.9
• (B) 2.99
• (C) 3
• (D) 3.01
• (E) 3.1

Risposta: C src_smc_2022__Q05

Evaluate the expression 4^800 / 8^400.

What is the value of $\frac{4^{800}}{8^{400}}$?

• (A) $\frac{1}{2^{400}}$
• (B) $\frac{1}{2^{200}}$
• (C) $1$
• (D) $2^{200}$
• (E) $2^{400}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (E) Fonte: apri PDF

Evaluare l’espressione 4^800 / 8^400.

Qual è il valore di $\frac{4^{800}}{8^{400}}$?

• (A) $\frac{1}{2^{400}}$
• (B) $\frac{1}{2^{200}}$
• (C) $1$
• (D) $2^{200}$
• (E) $2^{400}$

Risposta: E src_smc_2022__Q06

Find the minimum total number of stamps when buying first-class (85p) and second-class (66p) stamps, one of each type at a time, so the total cost is an exact integer number of pounds.

In 2021, a first class postage stamp cost 85p and a second class postage stamp cost 66p. In order to buy an exact number of each type, what is the smallest total number of stamps that should be purchased?

• (A) 10
• (B) 8
• (C) 7
• (D) 5
• (E) 2

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: (C) Fonte: apri PDF

Ricerca il numero minimo totale di francobolli quando acquisti francobolli di prima classe (85p) e di seconda classe (66p), uno di ciascun tipo alla volta, quindi il costo totale è un numero intero esatto di sterline.

Nel 2021, un francobollo di prima classe costa 85p e un francobollo di seconda classe 66p. Per comprare un numero esatto di ogni tipo, quale è il numero totale di francobolli più piccolo da acquistare?

• (A) 10
• (B) 8
• (C) 7
• (D) 5
• (E) 2

Risposta: C src_smc_2022__Q07

Regular outer hexagon of area 216 with an inner pattern; find the area of the shaded region.

In the diagram, the outer hexagon is regular and has an area of 216. What is the area of the shaded area?

• (A) 108
• (B) 96
• (C) 90
• (D) 84
• (E) 72

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: (E) Fonte: apri PDF

Sessangolo esterno regolare della zona 216 con un modello interno; trovare la superficie della regione ombreggiata.

Nel diagramma, l’esogono esterno è regolare e ha un’area di 216. Qual è l’area dell’area ombrosa?

• (A) 108
• (B) 96
• (C) 90
• (D) 84
• (E) 72

Risposta: E src_smc_2022__Q08

Calculate the distance light travels in one nanosecond at speed 3×10^8 m/s.

A light-nanosecond is the distance that a photon can travel at the speed of light in one billionth of a second. The speed of light is $3\times 10^8$ ms${}^{-1}$. How far is a light-nanosecond?

• (A) 3 cm
• (B) 30 cm
• (C) 3 m
• (D) 30 m
• (E) 300 m

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (B) Fonte: apri PDF

Calcolare la distanza percorsa dalla luce in un nanosegondo a velocità 3×10^8 m/s.

Un nanosegonda luce è la distanza che un fotone può percorrere alla velocità della luce in un miliardo di secondo. La velocità della luce è $3\times 10^8$ ms${}^{-1}$. Quanto è lontano un nanosegondo di luce?

• (A) 3 cm
• (B) 30 cm
• (C) 3 m
• (D) 30 m
• (E) 300 m

Risposta: B src_smc_2022__Q09

Find the value of x satisfying (1+2x+3x^2)/(3+2x+x^2) = 3.

What is the value of $x$ in the equation $\frac{1+2x+3x^2}{3+2x+x^2}=3$?

• (A) $-5$
• (B) $-4$
• (C) $-3$
• (D) $-2$
• (E) $-1$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: (E) Fonte: apri PDF

Trovare il valore di x soddisfacente (1+2x+3x^2)/(3+2x+x^2) = 3.

Qual è il valore di $x$ nell’equazione $\frac{1+2x+3x^2}{3+2x+x^2}=3$?

• (A) $-5$
• (B) $-4$
• (C) $-3$
• (D) $-2$
• (E) $-1$

Risposta: E src_smc_2022__Q10

In a number triangle where each disc equals the product of the two discs below it and the top disc is 2022, find n.

In the number triangle shown, each disc is to be filled with a positive integer. Each disc in the top or middle row contains the number which is the product of the two numbers immediately below. What is the value of $n$?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 6
• (E) 33

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: (A) Fonte: apri PDF

In un triangolo numerico in cui ogni disco è uguale al prodotto dei due dischi al di sotto e il disco superiore è 2022, trovi n.

Nel triangolo numerico mostrato, ogni disco deve essere riempito di un intero positivo. Ogni disco nella riga superiore o media contiene il numero che è il prodotto dei due numeri immediatamente sotto. Qual è il valore di $n$?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 6
• (E) 33

Risposta: A src_smc_2022__Q11

Find the sum of the digits of the integer equal to 6666666^2 - 3333333^2.

What is the sum of the digits of the integer which is equal to $6666666^2-3333333^2$?

• (A) 27
• (B) 36
• (C) 45
• (D) 54
• (E) 63

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: (E) Fonte: apri PDF

Ricerca la somma delle cifre del numero intero pari a 6666666^2 - 3333333^2.

Qual è la somma delle cifre del numero intero che è uguale a $6666666^2-3333333^2$?

• (A) 27
• (B) 36
• (C) 45
• (D) 54
• (E) 63

Risposta: E src_smc_2022__Q12

Three rugs (combined area 90 m^2) cover a 60 m^2 floor; exactly two layers cover 12 m^2; find the area covered by exactly three layers.

Three rugs have a combined area of $90{\text{ m}}^2$. When they are laid down to cover completely a floor of area $60{\text{ m}}^2$, the area covered by exactly two layers of rug is $12{\text{ m}}^2$. What is the area of floor covered by exactly three layers of rug?

• (A) $2{\text{ m}}^2$
• (B) $6{\text{ m}}^2$
• (C) $9{\text{ m}}^2$
• (D) $10{\text{ m}}^2$
• (E) $12{\text{ m}}^2$

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: (C) Fonte: apri PDF

Tre tappeti (area combinata 90 m^2) coprono un pavimento di 60 m^2; esattamente due strati coprono 12 m^2; trovate l’area coperta da esattamente tre strati.

Tre tappeti hanno una superficie combinata di $90{\text{ m}}^2$. Quando sono disposti per coprire completamente un pavimento di superficie $60{\text{ m}}^2$, l’area coperta da esattamente due strati di tappeto è $12{\text{ m}}^2$. Qual è l’area del pavimento coperta da esattamente tre strati di tappeto?

• (A) $2{\text{ m}}^2$
• (B) $6{\text{ m}}^2$
• (C) $9{\text{ m}}^2$
• (D) $10{\text{ m}}^2$
• (E) $12{\text{ m}}^2$

Risposta: C src_smc_2022__Q13

Square KLMN contains nested squares PQRS and TUVW, each obtained by dividing the previous side in ratio 1:2; find the shaded fraction.

The diagram shows a square $KLMN$. A second square $PQRS$ is drawn inside it, where $P$ divides the side $KL$ in the ratio $1:2$. Similarly, a third square $TUVW$ is drawn inside $PQRS$ with $T$ dividing $PQ$ in the ratio $1:2$. What fraction of the area of $KLMN$ is shaded?

• (A) $\frac{25}{81}$
• (B) $\frac{15}{81}$
• (C) $\frac{20}{81}$
• (D) $\frac{20}{81}$
• (E) $\frac{1}{3}$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (A) Fonte: apri PDF

Il KLMN quadrato contiene quadrati nidificati PQRS e TUVW, ottenuti ciascuno dividendo il lato precedente in rapporto 1:2; trovare la frazione ombrata.

Il diagramma mostra un quadrato $KLMN$. All’interno viene disegnato un secondo quadrato $PQRS$, dove $P$ divide il lato $KL$ nel rapporto $1:2$. Allo stesso modo, un terzo quadrato $TUVW$ è disegnato all’interno di $PQRS$ con $T$ dividendo $PQ$ nel rapporto $1:2$. Quale frazione della superficie di $KLMN$ è ombrata?

• (A) $\frac{25}{81}$
• (B) $\frac{15}{81}$
• (C) $\frac{20}{81}$
• (D) $\frac{20}{81}$
• (E) $\frac{1}{3}$

Risposta: A src_smc_2022__Q14

Hare and tortoise race 100 m; when hare finishes tortoise is 75 m behind; hare turns back; how far from finish do they meet?

The hare and the tortoise had a race over $100\text{ m}$, in which both maintained constant speeds. When the hare reached the finish line, it was $75\text{ m}$ in front of the tortoise. The hare immediately turned around and ran back towards the start line. How far from the finish line did the hare and the tortoise meet?

• (A) 54
• (B) 60
• (C) 64
• (D) $66\frac{2}{3}$
• (E) 72

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: (B) Fonte: apri PDF

Corrita di lepre e tartarughe 100 m; quando la lepre finisce la tartaruga è in ritardo di 75 m; la lepre torna indietro; a che distanza si incontrano?

Il coniglio e la tartaruga avevano una corsa su $100\text{ m}$, in cui entrambi mantenevano velocità costanti. Quando la lepre ha raggiunto la linea di meta, è stata $75\text{ m}$ davanti alla tartaruga. Il coniglio si voltò immediatamente e corse di nuovo verso la linea di partenza. Quanto lontano dalla linea d’arrivo si incontrarono il coniglio e la tartaruga?

• (A) 54
• (B) 60
• (C) 64
• (D) $66\frac{2}{3}$
• (E) 72

Risposta: B src_smc_2022__Q15

Identify which of five graphs could be a sketch of the curve sqrt(x) + sqrt(y) = 1.

Which diagram could be a sketch of the curve $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$?

• (A) [diagram A]
• (B) [diagram B]
• (C) [diagram C]
• (D) [diagram D]
• (E) [diagram E]

Topic: Insiemi e funzioni, Geometria analitica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: (B) Fonte: apri PDF

Identificare quale dei cinque grafici potrebbe essere uno schema della curva sqrt(x) + sqrt(y) = 1.

Quale diagramma potrebbe essere uno schema della curva $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$?

• (A) [Diagramma A]
• (B) [Diagramma B]
• (C) [Diagramma C]
• (D) [Diagramma D]
• (E) [Diagramma E]

Risposta: B src_smc_2022__Q16

Regular octagon of side 1 with four corner equilateral triangles (side 1) removed; find the area of the resulting shape.

The shape shown is made by removing four equilateral triangles with side-length 1 from a regular octagon with side length 1. What is the area of the shape?

• (A) $2-2\sqrt{3}$
• (B) $3+2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• (C) $2+2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• (D) $3-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• (E) $2\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: (B) Fonte: apri PDF

Octogono regolare del lato 1 con quattro angoli triangolari equilaterali (lato 1) rimossi; trovare l’area della forma risultante.

La forma mostrata è fatta rimuovendo quattro triangoli equilaterali con lunghezza laterale 1 da un ottagono regolare con lunghezza laterale 1. Qual è l’area della forma?

• (A) $2-2\sqrt{3}$
• (B) $3+2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• (C) $2+2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• (D) $3-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• (E) $2\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Risposta: B src_smc_2022__Q17

Given two simultaneous equations in 3^x and 3^y, find the value of 3^x + 3^y.

The numbers $x$ and $y$ are such that $3^x+3^{y+1}=5\sqrt{3}$ and $3^{x+1}+3^y=3\sqrt{3}$. What is the value of $3^x+3^y$?

• (A) $\sqrt{3}$
• (B) $2\sqrt{3}$
• (C) $3\sqrt{3}$
• (D) $4\sqrt{3}$
• (E) $5\sqrt{3}$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: (B) Fonte: apri PDF

Dati due equazioni simultanee in 3^x e 3^y, trovare il valore di 3^x + 3^y.

I numeri $x$ e $y$ sono tali che $3^x+3^{y+1}=5\sqrt{3}$ e $3^{x+1}+3^y=3\sqrt{3}$. Qual è il valore di $3^x+3^y$?

• (A) $\sqrt{3}$
• (B) $2\sqrt{3}$
• (C) $3\sqrt{3}$
• (D) $4\sqrt{3}$
• (E) $5\sqrt{3}$

Risposta: B src_smc_2022__Q18

Count pairs of real numbers satisfying x^2 - y = 2022 and y^2 - x = 2022 simultaneously.

How many pairs of real numbers $(x,y)$ satisfy the simultaneous equations $x^2-y=2022$ and $y^2-x=2022$?

• (A) infinitely many
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: (E) Fonte: apri PDF

Contare coppie di numeri reali che soddisfano simultaneamente x^2 - y = 2022 e y^2 - x = 2022.

Quante coppie di numeri reali $(x,y)$ soddisfano le equazioni simultanee $x^2-y=2022$ e $y^2-x=2022$?

• (A) infinitamente molti
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4

Risposta: E src_smc_2022__Q19

Find the area of a square inscribed inside a quadrant of a circle of radius 10.

A square is inscribed inside a quadrant of a circle. The circle has radius 10. What is the area of the square?

• (A) $25\sqrt{2}$
• (B) 36
• (C) $12\sqrt{2}$
• (D) 40
• (E) $10\sqrt{2}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: (D) Fonte: apri PDF

Ricerca l’area di un quadrato inserito all’interno di un quadrante di un cerchio di raggio 10.

Un quadrato è inscritto all’interno di un quadrante di un cerchio. Il cerchio ha un raggio di 10. Qual è l’area della piazza?

• (A) $25\sqrt{2}$
• (B) 36
• (C) $12\sqrt{2}$
• (D) 40
• (E) $10\sqrt{2}$

Risposta: D src_smc_2022__Q20

Logo with two straight edges of length 2, two small semicircles (diameter 2) and two large semicircles; find the shaded area.

The perimeter of a logo is created from two vertical straight edges, two small semicircles with horizontal diameters and two large semicircles. Both of the straight edges and the diameters of the small semicircles have length 2. The logo has rotational symmetry as shown. What is the shaded area?

• (A) 4
• (B) $4-\pi$
• (C) 8
• (D) $4+\pi$
• (E) 12

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: (D) Fonte: apri PDF

Logo con due bordi rette di lunghezza 2, due piccoli semicircoli (diametro 2) e due grandi semicircoli; trovare l’area ombrata.

Il perimetro di un logo è creato da due bordi verticali dritti, due piccoli semicircoli con diametri orizzontali e due grandi semicircoli. Entrambi i bordi retti e i diametri dei piccoli semicircoli hanno lunghezza 2. Il logo ha simmetria di rotazione come mostrato. Che cos’è la zona ombrosa?

• (A) 4
• (B) $4-\pi$
• (C) 8
• (D) $4+\pi$
• (E) 12

Risposta: D src_smc_2022__Q21

Count pairs of integers (x, y) satisfying sqrt(x - sqrt(x+23)) = 2sqrt(2) - y.*

How many pairs of integers $(x,y)$ satisfy the equation $\sqrt{x-\sqrt{x+23}}=2\sqrt{2}-y$?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 4
• (D) 8
• (E) infinitely many

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (B) Fonte: apri PDF

Contare coppie di integri (x, y) che soddisfano sqrt(x - sqrt(x+23)) = 2sqrt(2) - y.*

Quante coppie di integri $(x,y)$ soddisfano l’equazione $\sqrt{x-\sqrt{x+23}}=2\sqrt{2}-y$?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 4
• (D) 8
• (E) infinitamente molti

Risposta: B src_smc_2022__Q22

Three squares (areas 10, 10, 40) with vertices on sides of triangle FIL; find the area of triangle FIL.

Three squares $GQOP$, $HJNO$ and $RKMN$ have vertices which sit on the sides of triangle $FIL$ as shown. The squares have areas of 10, 10 and 40 respectively. What is the area of triangle $FIL$?

• (A) 220.5
• (B) $\frac{11}{2}\sqrt{10}$
• (C) 252
• (D) $\frac{11}{2}\sqrt{40}$
• (E) 441

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: (A) Fonte: apri PDF

Tre quadrati (zone 10, 10, 40) con vertici sui lati del triangolo FIL; trovare l’area del triangolo FIL.

Tre quadrati $GQOP$, $HJNO$ e $RKMN$ hanno vertici che si trovano sui lati del triangolo $FIL$ come mostrato. I quadrati hanno rispettivamente aree di 10, 10 e 40. Qual è l’area del triangolo $FIL$?

• (A) 220.5
• (B) $\frac{11}{2}\sqrt{10}$
• (C) 252
• (D) $\frac{11}{2}\sqrt{40}$
• (E) 441

Risposta: A src_smc_2022__Q23

Integers x, y with xy = px + qy (p, q constant positive); when y is maximum, find the expression equal to y - x.

The numbers $x$, $y$, $p$ and $q$ are all integers. $x$ and $y$ are variable and $p$ and $q$ are constant and positive. The four integers are related by the equation $xy=px+qy$. When $y$ takes its maximum possible value, which expression is equal to $y-x$?

• (A) $pq-1$
• (B) $(p-1)(q-1)$
• (C) $(p+1)(q-1)$
• (D) $(p-1)(q+1)$
• (E) $(p+1)(q+1)$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (D) Fonte: apri PDF

Integra x, y con xy = px + qy (p, q costante positiva); quando y è massimo, trovare l’espressione uguale a y - x.

I numeri $x$, $y$, $p$ e $q$ sono tutti numeri interi. $x$ e $y$ sono variabili e $p$ e $q$ sono costanti e positivi. I quattro integri sono correlati con l’equazione $xy=px+qy$. Quando $y$ prende il suo valore massimo possibile, quale espressione è uguale a $y-x$?

• (A) $pq-1$
• (B) $(p-1)(q-1)$
• (C) $(p+1)(q-1)$
• (D) $(p-1)(q+1)$
• (E) $(p+1)(q+1)$

Risposta: D src_smc_2022__Q24

Drinks carton (pyramid from four congruent triangles, QP = RS = 4 cm, PR = 10 cm); find the volume in cm^3.

A drinks carton is formed by arranging four congruent triangles as shown. $QP=RS=4\text{ cm}$ and $PR=10\text{ cm}$. What is the volume, in cm${}^3$, of the carton?

• (A) $\frac{10}{3}\sqrt{23}$
• (B) $\frac{11}{3}\sqrt{10}$
• (C) $\frac{11}{3}\sqrt{6}$
• (D) $\frac{11}{3}\sqrt{5}$
• (E) $\frac{1}{3}\sqrt{6}$

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: (A) Fonte: apri PDF

• Cartone di bevande (piramide di quattro triangoli congruenti, QP = RS = 4 cm, PR = 10 cm); trovare il volume in cm

Una scatola di bevande si forma disposendo quattro triangoli congruenti come mostrato. $QP=RS=4\text{ cm}$ e $PR=10\text{ cm}$. Qual è il volume della scatola, in cm${}^3$?

• (A) $\frac{10}{3}\sqrt{23}$
• (B) $\frac{11}{3}\sqrt{10}$
• (C) $\frac{11}{3}\sqrt{6}$
• (D) $\frac{11}{3}\sqrt{5}$
• (E) $\frac{1}{3}\sqrt{6}$

Risposta: A src_smc_2022__Q25