Anno x prima di 9613 con 9613^2-x^2 quadrato perfetto
Benvenuto nel futuro! “Philip J. Frege, ti trovi nel futuro!” esclama Liela Turinga con aria drammatica dopo aver risvegliato dall’ibernazione il nostro eroe. “In che anno sono?” “Poco prima dell’anno 9613. Anzi, è proprio l’ultimo anno x prima del 9613 tale che 96132 −x2 sia un quadrato perfetto”. In che anno si trova il povero pony-pizza?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9595 Fonte: apri PDF p.16
Year x before 9613 with 9613^2-x^2 perfect square
Welcome to the future! Philip J. Frege, you’re in the future! Liela Turinga shouts dramatically after awakening our hero from hibernation. What year are they? Shortly before the year 9613. In fact, it’s exactly the last year x before 9613 so 96132 −x2 is a perfect square. What year is the poor pony-pizza?
Answer: 9595 src_squadre_2018_finale__Q01
Settori raggiungibili su scacchiera con costi 2 e 3, 60 palline
Direttamente nella tua casella Il prof. Fredholm mostra a Frege una mappa dell’universo, a forma di scacchiera infinita bidimensionale; ogni casella rappresenta un settore del piano galattico. Indica col dito il centro del settore corrispondente alla Terra, e spiega: “La nostra astronave per le consegne ha un motore di mia invenzione che utilizza materia oscura come carburante. Con due palline di materia oscura, prodotte dal nostro Mordaglia, può spostarsi di un settore in orizzontale o in verticale; con tre può spostarsi di un settore in diagonale. Partendo dalla nostra base sulla Terra, possiamo fare consegne in qualunque settore raggiungibile con 60 palline di carburante o meno. Incluso quello di partenza, ovviamente”, aggiunge ridacchiando. In quanti settori diversi può fare consegne la Planar Express?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2441 Fonte: apri PDF p.16
Sectors reachable on a chessboard with costs 2 and 3, 60 balls
Right in your box. Fredholm shows Frege a two-dimensional infinite chessboard-shaped map of the universe; each box represents a sector of the galactic plane. He points to the center of the sector corresponding to the Earth, and explains: “Our delivery ship has an engine of my invention that uses dark matter as fuel. With two balls of dark matter, produced by our Mordaglia, it can move from one sector horizontally or vertically; with three it can move from one sector diagonally. Starting from our base on Earth, we can deliver anywhere we can reach with 60 balls of fuel or less. Including the start, of course, he adds with a laugh. How many different sectors can the Planar Express deliver to?
Answer: 2441 src_squadre_2018_finale__Q02
Somma N con sequenza tale che N^a0=somma di N^ai
Beuler dà i numeri [⋆] Il robot Beuler è andato in tilt per colpa di un magnete, ed ha cominciato letteralmente a dare i numeri! Il prof. Fredholm si accorge che i numeri elencati da Beuler sono tutti e soli gli interi positivi N per i quali esiste una sequenza di interi non negativi a0,a1,…,a2019 tali che Na0 = Na1 +Na2 +··+Na2019 Quanto vale la somma di tutti i numeri elencati da Beuler?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3034 Fonte: apri PDF p.16
Sum of N with such sequence that N^a0=sum of N^ai
Beuler gives the numbers [⋆] The Beuler robot went into tilt because of a magnet, and it literally started to give the numbers! The Professor. Fredholm observes that the numbers listed by Beuler are all and only positive integers N for which there is a sequence of nonnegative integers a0,a1,…,a2019 such that Na0 = Na1 +Na2 +··+Na2019 What is the sum of all numbers listed by Beuler?
Answer: 3034 src_squadre_2018_finale__Q03
Sequenze di partite con vincoli su pareggi e differenza vittorie
Un gioco di equilibrio Halbert Conway, il burocrate della Planar Express, è un ex-campione di limbo. In questo gioco, ogni singola partita può terminare con la vittoria di uno dei giocatori o un pareggio; però due partite successive non possono concludersi con vittorie di due giocatori diversi. L’ultima sfida di Halbert con Barbaros Schur fu memorabile. La sfida terminò subito dopo il quarto pareggio, e fu equilibratissima: la differenza in valore assoluto tra il numero di vittorie di Halbert e quelle di Barbaros non superò mai 3. Quanti sono i possibili modi (cioè sequenze di risultati di partite successive) in cui può essersi svolta la sfida, in base a queste informazioni?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2401 Fonte: apri PDF p.16
Match sequences with draw and win difference constraints
A game of balance Halbert Conway, the bureaucrat at Planar Express, is a former limbo champion. In this game, each single match may end with the win of one of the players or a draw; however, two subsequent matches may not end with the wins of two different players. Halbert’s last challenge with Barbaros Schur was memorable. The challenge ended shortly after the fourth draw, and was very balanced: the difference in absolute value between Halbert’s and Barbaros’s number of wins never exceeded 3. What are the possible ways (i.e. sequences of results from subsequent matches) in which the challenge may have taken place, based on this information?
Answer: 2401 src_squadre_2018_finale__Q04
Cammini di robot con passi diritti e diagonali fino all’ingresso
La passeggiata del robo-ubriaco Il robot Beuler, di nuovo, ha bevuto un po’ troppo. Si trova di fronte all’enorme parete del complesso di robo-appartamenti in cui abita, a dodici metri di distanza da esso. Con ognuno dei suoi lunghi passi robot può spostarsi in tre direzioni diverse: o di due metri andando diritto verso la parete perpendicolarmente ad essa, oppure di un metro diritto verso la parete e contemporaneamente di uno verso destra oppure verso sinistra. Con Gara a Squadre 3018 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 1/3
sei passi diritti raggiungerebbe l’ingresso, per esempio, oppure con due passi verso sinistra, quattro diritti, e poi due verso destra. Quanti sono i possibili percorsi che lo portano all’ingresso?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8989 Fonte: apri PDF p.16
Robot paths with straight and diagonal steps to the input
The robot Beuler, again, has been drinking a little too much. It is located in front of the huge wall of the robo-apartment complex in which he lives, twelve metres away from it. With each of its long steps, the robot can move in three different directions: either two meters straight toward the wall perpendicular to it, or one meter straight toward the wall and at the same time one to the right or left. With Team Race 3018 National Finals Problem Tests 1/3
Six straight steps would reach the entrance, for example, or with two steps to the left, four straight, and then two right. How many possible routes lead to the entrance?
Answer: 8989 src_squadre_2018_finale__Q05
Quadrilatero con condizioni angolari, misura BC
Esportare democrazia [⋆⋆] Il generale Brouwergan ha deciso di bombardare a tappeto una certa zona del pianeta Even 7, che ha la forma di un quadrilatero ABCD. Il suo vice Kief Kroneker fornisce le informazioni necessarie per completare l’operazione: valgono le uguaglianze ∠BAD + ∠CBD = ∠BCA + 2∠ADB = 90°e ∠BCD = 2∠BAD. Inoltre, detto X il punto di intersezione delle diagonali, si ha che CX = 33, AX = 65. Quanto misura BC?
Topic: Geometria piana Metodo: congruenze Area: Geometria Risposta: 0056 Fonte: apri PDF p.16
Quadrilateral with angular conditions, measurement of BC
General Brouwergan has decided to carpet bomb a certain area of planet Even 7, which is shaped like an ABCD quadrilateral. His deputy Kief Kroneker provides the necessary information to complete the operation: the equations BAD + CBD = BCA + 2ADB = 90° and BCD = 2BAD are valid. Also, say X the intersection point of the diagonals, you have that CX = 33, AX = 65. How big is BC?
Answer: 0056 src_squadre_2018_finale__Q06
Interi X senza zero per cui Y=X^2 vale letto al contrario
Opportunità di pace intergalattica [⋆⋆] Gli abitanti del sistema Otto Persei hanno l’abitudine di scrivere i numeri al contrario rispetto a quelli del sistema solare, vale a dire, leggendoli da destra a sinistra anziché da sinistra a destra. Questo è fonte di numerose incomprensioni, anche a causa della loro bellicosità, ma capita occasionalmente che sia noi che loro siamo d’accordo su un’affermazione del tipo “il numero Y è il quadrato del numero X” (ognuno leggendo i numeri alla sua maniera), per esempio per X = 12,Y = 144. Per quanti interi positivi X che non contengono la cifra zero le due civiltà si trovano d’accordo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0055 Fonte: apri PDF p.17
Interies X without zero for which Y=X^2 is read reverse
Opportunities for intergalactic peace [⋆⋆] The inhabitants of the Otto Persei system have a habit of writing numbers in the opposite direction to those of the solar system, that is, reading them from right to left instead of from left to right. This is the source of many misunderstandings, also because of their bellicose nature, but occasionally it happens that both we and they agree on a statement of the type the number Y is the square of the number X (each reading the numbers in his own way), for example for X = 12,Y = 144. For how many positive integers X that do not contain the digit zero do the two civilizations agree?
Answer: 0055 src_squadre_2018_finale__Q07
Triangolo, cerchi inscritto ed exscritti conciclici, AC minimo
Cerchi nel grano Nell’anno 3018, è ormai conoscenza comune il fatto che i cerchi nel grano sono messaggi degli alieni del pianeta Otto Persei, grossi esperti della cultura terrestre. In un messaggio particolarmente elaborato, l’alieno Mrrr tracciò un triangolo ABC con AB = 2017 e BC = 2076. Il cerchio inscritto nel triangolo incontrava AC e AB in B1 e C1 rispettivamente. Il cerchio tangente al lato AB e ai prolungamenti dei lati CA e CB (dai lati di A e B rispettivamente) incontrava la retta AC in B2. Il cerchio tangente al lato AC e ai prolungamenti dei lati BA e BC (dai lati di A e C rispettivamente) incontrava la retta AB in C2. Sapendo che i quattro punti B1C1B2C2 stavano su una stessa circonferenza, trovare il minimo valore possibile per AC.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Risposta: 2017 Fonte: apri PDF p.17
Triangle, inscribed and excised conical circles, minimum AC
In the year 3018, it is now common knowledge that the wheat circles are messages from the aliens of the planet Otto Persei, great experts on earth’s culture. In a particularly elaborate message, the alien Mrrr plotted an ABC triangle with AB = 2017 and BC = 2076. The circle inscribed in the triangle met AC and AB in B1 and C1 respectively. The tangent circle on the AB side and on the AC and CB side extensions (from the A and B sides respectively) met the AC straight in B2. The tangent circle on the AC side and the BA and BC side extensions (on the A and C sides respectively) met the straight AB in C2. Knowing that the four points B1C1B2C2 were on the same circumference, find the lowest possible value for AC.
Answer: 2017 src_squadre_2018_finale__Q08
Cammini su griglia da (8,6) a (0,0) con 7 cambi direzione
Sgominare il piano [⋆] Dopo un acceso diverbio, gli abitanti del sistema Otto Persei hanno deciso di invadere la Terra. Il loro pianeta, per l’appunto, si trova nella posizione (8,6) del piano cartesiano galattico. La loro astronave si muove facendo passi di lunghezza 1 nel piano, sempre verso il basso o verso sinistra, e sta cercando di atterrare nel punto (0,0). Il generale Brouwergan cerca di colpirla con il suo cannone positronico, ma questa cambia direzione esattamente 7 volte e lo disorienta, riuscendo ad atterrare. Quanti sono i diversi percorsi possibili per l’astronave?
Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0700 Fonte: apri PDF p.17
Grid routes from (8.6) to (0.0) with 7 direction changes
After a divergent fire, the inhabitants of the Otto Persei system decided to invade Earth. Their planet, for that matter, is in the position (8.6) of the Cartesian plane. Their spaceship moves by taking steps of length 1 in the plane, always down or left, and is trying to land at the point (0.0). General Brouwergan tries to hit her with his positron cannon, but it changes direction exactly seven times and disorients him, making it land. How many different routes are possible for the spacecraft?
Answer: 0700 src_squadre_2018_finale__Q09
Bugiardi e sinceri in fila con risposte a pattern, massimo bugiardi
I presidenti dell’UMI Nella sala dei presidenti del museo delle teste di Nuova Nuova York si trovano 2017 teste in fila: però alcuni presidenti mentono sempre, altri dicono sempre la verità. Per scovare i bugiardi, Liela chiede a ciascuno di loro (eccetto l’ultimo) se il presidente nel posto successivo sia sincero. Come risposte, in ordine, ottiene un sì, poi un sì e un no, poi un sì e due no, poi un sì e tre no e così via fino al 2016-esimo. Quanti bugiardi ci sono al massimo?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1009 Fonte: apri PDF p.17
Liars and truthful in line with pattern responses, maximum liars
In the president’s room of the Museum of Heads in New York City, there are 2017 heads in a row: however, some presidents always lie, others always tell the truth. To uncover the liars, Liela asks each of them (except the last one) if the next president is sincere. As answers, in order, you get a yes, then a yes and a no, then a yes and two no, then a yes and three no, and so on until 2016. How many liars are there at most?
Answer: 1009 src_squadre_2018_finale__Q10
Trapezio rettangolo, quadrilatero ciclico, valore a+b
Merito della bombetta [⋆] La scimmia Goentel, diventata intelligentissima grazie al cappello inventato dal prof. Fredholm, si diletta di problemi di geometria. Nell’aula magna dell’università di Marte, pondera di fronte a un trapezio ABCD, rettangolo in B, con base maggiore AB e base minore DC. Ha indicato le lunghezze di alcuni suoi lati: AB = a, BC = 1000, DC = b. Chiama poi D′ il simmetrico di D rispetto alla retta AC, ed E l’intersezione di AC e BD. Goentel sa che esiste un valore di a tale per cui AD′ED è inscrivibile in una circonferenza per uno e un solo valore positivo di b. Sapreste aiutarla a scoprire quanto vale a+b?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Risposta: 3000 Fonte: apri PDF p.17
Rectangular trapezoid, cyclic quadrilateral, value a+b
The Goentel monkey, who became very intelligent thanks to the hat invented by prof. Fredholm, he likes geometry problems. In the main room of the University of Mars, it weighs in front of an ABCD trapezoid, rectangle in B, with major base AB and minor base DC. He indicated the lengths of some of its sides: AB = a, BC = 1000, DC = b. Then call D′ the symmetric of D with respect to the straight AC, and E the intersection of AC and BD. Goentel knows that there is a value of a such that AD′ED can be inscribed in a circumference for one and only one positive value of b. Can you help her figure out how much a+b is worth?
Answer: 3000 src_squadre_2018_finale__Q11
Radici multiple massime di g(x)=f(x^3-3x)
Mi faccia un’altra domanda [⋆] Quando insegnava all’Università di Marte, il prof. Fredholm era solito dare questo problema ai suoi studenti più promettenti, o a quelli che gli stavano più antipatici. Sia f un polinomio a coefficienti reali che non ha radici multiple. Quante radici multiple può avere, al massimo, il polinomio g(x) = f(x3 −3x)? Si dice che λ è una radice multipla del polinomio p(x) se p(x) (x−λ)2 è un polinomio.
Topic: Algebra Metodo: Conteggio combinatorio Area: Algebra e Analisi Risposta: 0002 Fonte: apri PDF p.17
*Multiple maximal roots of g(x) = f(x^3-3x) *
Ask me another question. When he was teaching at the University of Mars, Fredholm used to give this problem to his most promising students, or those who disliked him the most. Whether f is a real coefficient polynomial that has no multiple roots. How many multiple roots can the polynomial g(x) = f(x3 −3x have, at most)? It is said that λ is a multiple root of the polynomial p(x) if p(x) (x−λ)2 is a polynomial.
Answer: 0002 src_squadre_2018_finale__Q12
Due sfere uguali scambiabili in tetraedro regolare, raggio massimo
L’universo in una stanza [⋆⋆] “Buone notizie, matematici —esclama il prof. Fredholm— questa scatola a forma di tetraedro regolare di lato 28 √ 3m contiene non uno, ma due universi, identici, e di forma sferica. Non solo, ma le sfere possono scambiarsi di posto muovendosi rigidamente all’interno della scatola, senza mai sovrapporsi”. Quanti millimetri può misurare, al massimo, il raggio dei due universi sferici?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: 6727 Fonte: apri PDF p.17
Two equal interchangeable spheres in regular tetrahedron, maximum radius
The universe in a room. Good news, mathematicians. Fredholm this regular tetrahedron-shaped box of side 28 √ 3m contains not one, but two universes, identical, and spherical in shape. Not only that, but the spheres can change places by moving rigidly inside the box, never overlapping. How many millimeters can you measure, at most, the radius of the two spherical universes?
Answer: 6727 src_squadre_2018_finale__Q13
Somma di N/s(N) per N da 1 a 1000
Da convertire in teoremi [⋆] Frege ha deciso di usare il suo rimborso delle tasse per comprarsi 1000 caffè. Per ogni N compreso tra 1 e 1000, l’N-esimo caffè ha un contenuto di caffeina pari a N/s(N), dove s(N) è la somma delle cifre di N: per esempio, il 433esimo caffè ne contiene 433 4+3+3. Qual è la quantità totale di caffeina che assumerà Frege, pari alla somma Gara a Squadre 3018 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 2/3
dei contenuti di caffeina di tutti i caffè?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7963 Fonte: apri PDF p.17
sum of N/s(N) for N from 1 to 1000
To convert into theorems, Frege decided to use his tax refund to buy 1,000 coffees. For each N between 1 and 1000, the N-eighth coffee has a caffeine content equal to N/s(N), where s(N) is the sum of the digits of N: for example, the 433rd coffee contains 433 4+3+3. What is the total amount of caffeine Frege will take, equal to the sum of Team Competition 3018 National Finals Problem Tests 2/3
The caffeine content of all the coffees?
Answer: 7963 src_squadre_2018_finale__Q14
Riempimenti tabella 4x4 con vincoli di monotonia, conteggio
CAPTCHA [⋆] Per motivi sconosciuti ai più, Frege ha uno sconveniente tatuaggio con dei numeri. Si tratta di una tabella 4×4 in cui sono annerite le quattro caselle della diagonale che va dalla casella in basso a sinistra a quella in alto a destra. Nelle restanti caselle sono scritti i numeri interi tra 1 e 12, ognuno una volta sola. In ogni coppia di caselle adiacenti orizzontalmente, la casella più a sinistra contiene un numero maggiore di quella più a destra. In ogni coppia di caselle adiacenti verticalmente, la casella più in alto contiene un numero maggiore di quella più in basso. In quanti modi è possibile riempire la tabella rispettando queste condizioni?
Topic: Combinatoria Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6544 Fonte: apri PDF p.17
Table 4x4 fillings with monotony constraints, counting
For reasons unknown to most, Frege has an inconvenient number tattoo. This is a table 4×4 in which the four boxes of the diagonal running from the bottom left to the top right are blacked. In the remaining boxes, the integers between 1 and 12 are written once each. In each pair of boxes adjacent horizontally, the leftmost box contains a larger number than the rightmost box. In each pair of boxes adjacent vertically, the top box contains a larger number than the bottom box. In how many ways can the table be filled in under these conditions?
Answer: 6544 src_squadre_2018_finale__Q15
Codici di 2018 cifre 0,1,2 con somma al piu 8, resto mod 2018
Forza bruta Beuler sa che il codice che libera la sfera temporale che gli permetterà di viaggiare nel tempo è una sequenza di 2018 cifre, scelte tra 0,1,2, ma la cui somma vale al più 8. Con le sue dita robot, sta cercando di digitare uno per volta tutti i possibili codici che rispettano queste caratteristiche. Quanti codici digiterà? Si risponda indicando il resto della divisione di questo numero per 2018.
Topic: Combinatoria Metodo: Sfruttamento della simmetria Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0001 Fonte: apri PDF p.17
2018 codes 0,1,2 digits plus 8, remaining mod 2018
Brute force Beuler knows that the code that releases the time sphere that will allow him to travel in time is a sequence of 2018 digits, chosen between 0.1,2, but whose sum is worth the most 8. With his robotic fingers, he’s trying to type one at a time all the possible codes that meet these characteristics. How many codes will he type? It is answered by indicating the remainder of the division of this issue for 2018.
Answer: 0001 src_squadre_2018_finale__Q16
Parti massime in cui 20 spezzate a M dividono il piano
Martizione del piano [⋆⋆] Il logo della MuCorp, la più potente corporazione dell’universo, ha la forma di una lettera M che si estende all’infinito, vale a dire, una spezzata non intrecciata composta da una semiretta, due segmenti, e un’altra semiretta (in quest’ordine). In quante parti al massimo viene diviso il piano da 20 spezzate di questo tipo?
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3061 Fonte: apri PDF p.17
Maximum parts in which 20 M fractions divide the plane
The logo of MuCorp, the most powerful corporation in the universe, is in the shape of a letter M that extends to infinity, that is, an unwoven piece composed of one half, two segments, and one half (in this order). How many sections is the plan divided into by 20 pieces of this type?
Answer: 3061 src_squadre_2018_finale__Q17
Date g1g2m1m2 prodotto di due primi specchiati, somma valori
Compleanno particolare Frege si è dimenticato un’altra volta di che giorno è il compleanno di Liela! Si ricorda solo che il numero g1g2m1m2 formato scrivendo la data nel formato giorno/mese (con g1 e m1 uguali a zero, eventualmente) e leggendo le quattro cifre di fila, è il prodotto di due numeri primi, diversi e minori di 100, che si scrivono con le stesse cifre in ordine opposto (ab e ba). Quali sono le possibili date di nascita che rispettano questa condizione? Si risponda indicando la somma dei possibili valori del numero g1g2m1m2.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4311 Fonte: apri PDF p.17
Data g1g2m1m2 produced from the first two mirrors, sum of values
Special birthday Frege has forgotten again what day it’s Liela’s birthday! It is only recalled that the number g1g2m1m2 formed by writing the date in the day/month format (with g1 and m1 equal to zero, if any) and reading the four digits in a row, is the product of two prime numbers, different and less than 100, which are written with the same digits in opposite order (ab and ba). What are the possible dates of birth that meet this requirement? The sum of the possible values of the number g1g2m1m2 is given.
Answer: 4311 src_squadre_2018_finale__Q18
Triangoli equilateri iterati, misura PC con AB=3556
Frege, Escher e Bach L’olomorfo è uno strumento musicale in grado di proiettare complesse scene quadridimensionali. Philip J. Frege, che si diletta di questo strumento, ha disegnato su un piano a mezz’aria un triangolo equilatero ABC. Detto M il punto medio di BC, ha costruito con uno svolazzo il punto D esterno ad ABC tale che BMD sia un triangolo equilatero. Poi ha ripetuto la costruzione e la melodia su un’ottava più acuta, chiamando N il punto medio di MD e scegliendo P esterno a BMD tale che PND sia un triangolo equilatero. Sapendo che AB = 3556, quanto misura PC?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: 2352 Fonte: apri PDF p.17
Iterated equilateral triangles, measuring PC with AB=3556
Frege, Escher and Bach’s Lolomorfo is a musical instrument capable of projecting complex four-dimensional scenes. Philip J. Frege, who enjoys this instrument, drew an ABC equilateral triangle on a plane in mid-air. Named M the middle point of BC, he constructed with a swivel the outer point D at ABC such that BMD is an equilateral triangle. He then repeated the construction and melody on a sharper octave, calling N the midpoint of MD and choosing P external to BMD such that PND is an equilateral triangle. Knowing that AB is 3556, how big is PC?
Answer: 2352 src_squadre_2018_finale__Q19
Cerchio tangente a 5 cerchi su pentagono, raggio
Il quadrifoglio a cinque petali Il leggendario quadrifoglio a cinque petali trovato da Frege aveva la forma di questa figura piana. Su una circonferenza Γ di centro O e raggio 1 prendiamo cinque punti A,B,C,D,E che la dividono in cinque archi uguali e disgiunti. Consideriamo le cinque circonferenze di raggio 1, distinte da Γ, e passanti rispettivamente per A e B, per B e C, per C e D, per D ed E, per E ed A. Una circonferenza più piccola di centro O è tangente a queste cinque circonferenze. Quanto vale il suo raggio? Si risponda indicando le prime quattro cifre dopo la virgola.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Risposta: 6180 Fonte: apri PDF p.17
Tangent circle at 5 circles on a pentagon, radius
The legendary five-leafed quadruped found by Frege had the shape of this flat figure. On a circumference Γ of center O and radius 1, we take five points A,B,C,D,E that divide it into five equal and disjoint arcs. Consider the five radii of radius 1, distinct from Γ, and passing respectively through A and B, through B and C, through C and D, through D and E, through E and A. A smaller circumference of center O is tangent to these five circumferences. How much is your radius worth? It is answered by indicating the first four digits after the comma.
Answer: 6180 src_squadre_2018_finale__Q20
Interi n per cui palla torna al giocatore iniziale in 24 passaggi
Palloni che girano [⋆] I Goldbachtrotters sono famosi per la loro abilità nel manipolare numeri di altezza crescente. Nel loro numero più famoso, 2n di loro si mettono in fila, indossando maglie su cui sono scritti, da sinistra a destra, i numeri +1,+2,+3… + (n −1),+n,−n,−(n −1)… −2,−1. Il primo di loro, quello con il numero +1, lancia la palla al suo compagno di squadra immediatamente alla sua destra. Allo stesso modo, quando riceve la palla, ogni giocatore la passa al giocatore che ha distanza da lui pari al suo numero di maglia, a destra se il numero è positivo e a sinistra se è negativo. Quindi per esempio il giocatore con il numero −4 passa la palla al giocatore che sta quattro posti a sinistra rispetto a lui. Per quanti interi n ≥1 la palla sarà di nuovo in possesso del giocatore iniziale dopo 24 passaggi? Gara a Squadre 3018 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 3/3
U XIX Gara Nazionale a Squadre Finale Nazionale – Soluzioni – 5 Maggio 3018 olimpiadi.dm.unibo.it www.oliforum.it Nr. Problema
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0095 Fonte: apri PDF p.17
Interi n for which the ball returns to the starting player in 24 steps
The Goldbachtrotters are famous for their ability to manipulate increasingly high numbers. In their most famous number, 2n of them line up, wearing shirts that are written, from left to right, the numbers +1, +2, +3… + (n −1),+n,−n,−(n −1)… −2,−1. The first of them, the one with the number +1, throws the ball to his teammate immediately to his right. Similarly, when each player receives the ball, he passes it to the player who has a distance from him equal to his jersey number, to the right if the number is positive and to the left if it is negative. So for example, the player with the number −4 passes the ball to the player who is four places to the left of him. For how many integers n ≥1 will the ball be back in the starting player’s possession after 24 passes? Competition in 3018 Teams National Final Problem Tests 3/3
The 19th National Final Team Competition Solution 5 May 3018 olimpiadi.dm.unibo.it www.oliforum.it Nr. The problem
Answer: 0095 src_squadre_2018_finale__Q21