Numero di cifre della somma di numeri triangolari fino a 1918
Il telefono di DOC Sull’elenco telefonico Matryx HOMFLY trova il numero di
DOC: esso è pari a (1)+(1+2)+··+(1+2+··+1918). Quante cifre ha?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0010 Fonte: apri PDF p.1
Number of digits of the sum of triangular numbers up to 1918
The DOC telephone on the Matryx HOMFLY telephone directory has the number \ DOC: it is equal to (1)+(1+2)+··+(1+2+··+1918). How many digits do you have?
Answer: 0010 src_squadre_2018_semifinalea__Q01
Percorsi distinti dal centro al bordo di scacchiera 13x13
Fuga dalla piazza Matryx deve fuggire sullo skateboard da Biffe dai suoi scagnozzi! Ora si trova al centro della piazza di Hill Valley, che è una scacchiera quadrata di 13 caselle per lato, e deve raggiungerne una qualunque casella del bordo nel modo più rapido possibile, cioè ad ogni passo deve spostarsi su una casella che si trova su una corona quadrata (centrata nel punto di partenza) più grande. Inoltre, non avendo il suo skateboard volante, può spostarsi solo tra caselle con almeno un vertice in comune. Con quanti percorsi distinti può scappare da Biff?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2912 Fonte: apri PDF p.1
Separate routes from the centre to the chessboard edge 13x13
He’s running away from Matryx Square. He’s got to run away on the skateboard from Biffe. Now it’s in the center of Hill Valley Square, which is a square chessboard of 13 boxes per side, and it has to reach any box on the edge as quickly as possible, that is, at every step it has to move onto a box that is on a larger square crown (centered at the starting point). Also, not having its own flying skateboard, it can only move between boxes with at least one vertex in common. How many different routes can you take to get out of Biff?
Answer: 2912 src_squadre_2018_semifinalea__Q02
Numero di somme b+c di 100 interi, Nmax-2Nmin
Paradosso! Sulla lavagna di
DOC sta scritto un insieme A di 100 interi distinti. Tra i suoi appunti per costruire la macchina del tempo, egli annota “ci sono esattamente N interi diversi che si possono scrivere come b+c, dove b,c ∈A”. Matryx, però, è andato nel passato e ha modificato alcuni di questi numeri, cambiando il continuum spazio-temporale. Di conseguenza, anche il valore di N è cambiato! Se Nmax e Nmin sono, rispettivamente, il massimo e il minimo valore di N ottenibile in questo modo, quanto vale Nmax −2Nmin? Nota: b e c possono anche essere lo stesso numero.
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4652 Fonte: apri PDF p.1
Number of sums b+c of 100 integers, Nmax-2Nmin
What a paradox! On the \ DOC board is written a set A of 100 distinct integers. Among his notes to build the time machine, he notes there are exactly N different integers that can be written as b+c, where b,c ∈A. Matryx, however, went back in time and changed some of these numbers, changing the space-time continuum. As a result, even the value of N has changed! If Nmax and Nmin are, respectively, the maximum and minimum values of N obtained in this way, how much is Nmax −2Nmin? Note: b and c can also be the same number.
Answer: 4652 src_squadre_2018_semifinalea__Q03
Sequenza autodescrittiva dopo 2018 iterazioni, terzo termine
Cruscotto complicato Sul cruscotto della DeuLerean c’è uno schermo digitale che è in grado di raffigurare una sequenza di interi non negativi. Non appena
DOC ha terminato la sua costruzione, compare una sequenza costituita dal solo numero 100. Ad ogni viaggio nel tempo, questa sequenza viene sostituita da una nuova, secondo questa regola: per ogni k ≥0, il (k +1)-esimo termine della nuova sequenza è pari al numero di volte che il numero k compare nella vecchia. La nuova sequenza ha lunghezza pari al massimo numero che compare nella vecchia sequenza, più uno. Per esempio, se la vecchia sequenza fosse (10,2,0,2), la nuova sarebbe (1,0,2,0,0,0,0,0,0,0,1). Dopo 2018 viaggi nel tempo, quanto vale il terzo numero (da sinistra) della sequenza visualizzata?
Topic: successioni Metodo: monovarianti, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 0001 Fonte: apri PDF p.1
This is the total number of units of measurement for each unit of measurement.
Complicated dashboard On the dashboard of the DeuLerean there is a digital screen that is capable of depicting a sequence of non-negative integers. As soon as \DOC has finished its construction, a sequence consisting of only the number 100 appears. With each time travel, this sequence is replaced by a new one, according to this rule: for every k ≥0, the (k +1)-th term of the new sequence is equal to the number of times the number k appears in the old one. The new sequence is equal to the maximum number that appears in the old sequence, plus one. For example, if the old sequence was (10,2,0,2), the new sequence would be (1,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1). After 2018 time travel, what is the value of the third number (left) of the sequence displayed?
Answer: 0001 src_squadre_2018_semifinalea__Q04
Due triangoli simili intersecanti in esagono, rapporto prodotti lati
Flusso geometrizzatore[⋆] “Grande Gauss! I raggi nel flusso geometrizzatore creano sempre figure strane, Matryx!” dice
DOC. “Oggi formano due triangoli T1 e T2, con i lati a due a due paralleli, parzialmente sovrapposti in modo da intersecarsi in un esagono ABCDEF, la cui area è la metà di quella di T1, e anche i 49 72 di quella di T2. Inoltre AB = 4DE. Ora, Matryx, sai dirmi quanto vale AB ·CD ·EF BC ·DE ·FA?” Si scriva il risultato come una frazione ridotta ai minimi termini, e si risponda indicando la somma tra numeratore e denominatore.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0103 Fonte: apri PDF p.1
Two similar triangles intersecting in the hexagon, side product ratio
It’s a great Gauss! The rays in the flow geometry always create strange figures, Matryx! says DOC. Today they form two T1 and T2 triangles, with two parallel sides, partially overlapping so as to intersect in an ABCDEF hexagon, whose area is half that of T1, and also the 49 72 of T2. Also AB is 4DE. Now, Matryx, can you tell me how much AB ·CD ·EF BC ·DE ·FA? You write the result as a fraction reduced to the minimum terms, and you answer it by indicating the sum between numerator and denominator.
Answer: 0103 src_squadre_2018_semifinalea__Q05
Numero minimo ragazza che balla con condizione su mcm
Coppie al ballo Al cerimoniale ritmico “Incentro isogonale” ci sono 2430 ragazzi, numerati da 1 a 2430, e alcune ragazze, numerate con degli interi positivi tutti distinti. Se un ragazzo e una ragazza hanno i numeri rispettivamente a e b tali che mcm(a,b) > mcm(a,2431), allora i due danzeranno insieme sulle note di Johnny B. Goodel. “Che bello —commenta la giovane Lorraine Bayes— il mio numero è il più piccolo tra quelli che permettono ad una ragazza di ballare!” Gara a Squadre 3018 – Semifinale A – Testi dei problemi – 1/2
Che numero ha?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0012 Fonte: apri PDF p.1
Minimum number of girls dancing conditionally on the MCM
Couples at the dance In the rhythmic ceremony Isogonal center there are 2430 boys, numbered from 1 to 2430, and some girls, numbered with positive integers all distinct. If a boy and a girl have respectively the numbers a and b such that mcm(a,b) > mcm(a,2431), then the two will dance together on the notes of Johnny B. Goodel, please. How beautiful comments young Lorraine Bayes my number is the smallest among those that allow a girl to dance! Team competition 3018 Semifinal A Problem texts 1/2
What’s your number?
Answer: 0012 src_squadre_2018_semifinalea__Q06
Coppie di polinomi grado 4 con un coefficiente dispari nel prodotto
Indovinelli dal passato [⋆⋆] Nel 1955 Matryx riceve la lettera di
DOC dal vecchio West, la quale recita così “Ci sono tante miniere, ognuna indicata da un intero. La DeuLerean si trova in quella che corrisponde al numero di coppie non ordinate di polinomi p(x),q(x) a coefficienti interi strettamente positivi, di grado 4, tali che p(1)+q(1) = 26 e che il polinomio (p(x)q(x))7 abbia esattamente un coefficiente dispari”. Di quale miniera si tratta?
Topic: Algebra Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Area: Algebra e Analisi Risposta: 8975 Fonte: apri PDF p.2
Pairs of degree 4 polynomials with a coefficient of oddness in the product
In 1955 Matryx receives a letter from the old West, which reads: “There are many mines, each indicated by a whole. The DeuLerean is found in the number of unordered pairs of polynomials p(x,q(x) with strictly positive integer coefficients, of degree 4, such that p(1)+q(1) = 26 and that the polynomial (p(x)q(x))7 has exactly an odd coefficient. What mine is this?
Answer: 8975 src_squadre_2018_semifinalea__Q07
Piramide tagliata in volumi uguali, rapporto BP/PV
La teoria dei futuri astronauti [⋆⋆] Matryx e
DOC sono finiti nell’antico Egitto, dove per nascondere la DeuLerean costruiscono un’enorme piramide retta con base un quadrato ABCD e vertice V . Sugli spigoli V B e V D prendono rispettivamente due punti P e Q con BP PV = DQ QV tali che il piano APQ divide la piramide in due stanze di egual volume. Quanto vale BP PV ? Si risponda indicando a+b+2c, dove a,b,c sono interi tali che BP PV = a+ √ b c , e b non ha quadrati perfetti tra i suoi divisori.
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0022 Fonte: apri PDF p.2
Pyramid cut in equal volumes, BP/PV ratio
The theory of future astronauts [⋆⋆] Matryx and \ DOC ended up in ancient Egypt, where to hide the DeuLerean they built a huge straight pyramid based on an ABCD square and V vertex. On the sides V B and V D take two points P and Q respectively with BP PV = DQ QV such that the APQ plane divides the pyramid into two equal-volume rooms. How much is BP PV ? Answer by indicating a+b+2c, where a,b,c are integers such that BP PV = a+ √ b c , and b does not have perfect squares between its divisors.
Answer: 0022 src_squadre_2018_semifinalea__Q08
Intero con 12 divisori e relazione sui divisori, numero bicchieri
Banditi matematici [⋆] “Whisky per i miei n uomini!” tuona Bu4 Kampen nel saloon. “E quanti sono?” chiede il barista. “Ti dirò solo che n è un intero positivo con esattamente 12 divisori positivi 1 = d1 < d2 < ·· < d12 = n, e che dd4−1 = d8(d1 +d2 +d4)”. Non volendo fare altre domande, per ogni possibile n il barista prepara un vassoio con n bicchieri. Quanti bicchieri riempie?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1989 Fonte: apri PDF p.2
Intero with 12 dividers and ratio on dividers, number of glasses
♪ Whiskey for my n men ♪ ♪ Bu4 Kampen in the saloon. “How many are there?” asks the bartender. I’ll just tell you that n is a positive integer with exactly 12 positive divisors 1 = d1 < d2 < ·· < d12 = n, and that dd4−1 = d8(d1 + d2 + d4) . Not wanting to ask any more questions, the bartender prepares a tray of glasses for every opportunity. How many glasses do you fill?
Answer: 1989 src_squadre_2018_semifinalea__Q09
Frecce con angoli dati chiuse per riflessione, numero minimo
Occhio al cappello [⋆] Nel selvaggio West, gli indiani hanno infilzato di frecce il cappello da cowboy di
DOC. Le frecce hanno tutte la punta nello stesso punto al centro del cappello, e hanno la forma di segmenti tutti della stessa lunghezza. Matryx nota che esistono tre frecce a,b,c tali che l’angolo tra a e b è di 60°, quello tra b e c è di 60°, quello c e a è di 90°. Invece
DOC, matematico più abile, nota che per ogni coppia di frecce s e t c’è anche una freccia che è la simmetrica di t rispetto al piano perpendicolare a s. Quante frecce ci sono nel cappello, al minimo?
Topic: Geometria solida Metodo: Sfruttamento della simmetria Area: Geometria Risposta: 0012 Fonte: apri PDF p.2
Arrows with data angles closed for reflection, minimum number
In the wild West, the Indians pierced the DOC’s cowboy hat with arrows. The arrows all have the same tip at the center of the hat, and they all have the shape of segments of the same length. Matryx notes that there are three arrows a,b,c such that the angle between a and b is 60°, that between b and c is 60°, that between c and a is 90°. Instead \ DOC, a more skilled mathematician, notes that for each pair of arrows s and t there is also an arrow that is the symmetry of t with respect to the plane perpendicular to s. How many arrows are in the hat, at least?
Answer: 0012 src_squadre_2018_semifinalea__Q10
Successione ricorsiva in base 3, guadagno totale fino a edizione 2018
Il Grande Almanacco delle Olimpiadi di Matematica [⋆] Ad ogni edizione delle Olimpiadi di Matematica, a partire dalla numero zero, BiffTauber scommette sul vincitore grazie al Grande Almanacco. La vincita che ottiene all’edizione n è di an dollari, dove a0 = 0, e per ogni intero n valgono le relazioni a3n = an, a3n+1 = an −1, e a3n+2 = an +2. Finita l’edizione numero 2018, Biffrealizza che, dall’inizio delle scommesse, ha guadagnato una montagna di dollari. Quanti, di preciso?
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi Risposta: 4105 Fonte: apri PDF p.2
Recurring succession on basis 3, total gain up to the 2018 edition
The Great Almanac of the Mathematical Olympics [⋆] At every edition of the Mathematical Olympics, starting with the number zero, BiffTauber bets on the winner thanks to the Great Almanac. The gain you get at edition n is an dollar, where a0 = 0, and for each integer n the relationships a3n = an, a3n+1 = an −1, and a3n+2 = an +2 are worth. The 2018 edition is over, Biffrealizza, which, since the beginning of betting, has won a mountain of dollars. How many, exactly?
Answer: 4105 src_squadre_2018_semifinalea__Q11
Anni a 4 cifre con migliaia >= somma altre cifre
Circuiti difettosi I circuiti del tempo sono stati danneggiati da un fulmine: ora la DeuLerean può raggiungere solo gli anni di quattro cifre tali che la cifra delle migliaia sia maggiore o uguale alla somma delle altre tre. “Poco male” dice
DOC, e calcola rapidamente in quanti anni diversi può viaggiare. Che numero trova? Si intende che un numero di quattro cifre ha la cifra delle migliaia non nulla.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0714 Fonte: apri PDF p.2
4-digit years with thousands >= sum of other digits
Time circuits have been damaged by lightning: now the DeuLerean can only reach four-digit years such that the number of thousands is greater or equal to the sum of the other three. Little bad says \ DOC, and quickly calculates how many different years it can travel. What number do you get? It means that a four-digit number has the number of thousands, not nothing.
Answer: 0714 src_squadre_2018_semifinalea__Q12
Triangolo isoscele rettangolo, due cerchi tangenti, valore 2000 CE/CB
Salviamo l’orologio della torre [⋆] Nel 2018 l’orologio di Hill Valley è stato finalmente ricostruito: ora consiste di un triangolo isoscele ABC rettangolo in C. I punti D ed E, rispettivamente sui lati AC e CB, sono congiunti da un segmento parallelo ad AB. Ci sono ora ben due orologi circolari, uno inscritto al triangolo ADE e uno inscritto ad ABE, che si toccano in un punto sul segmento AE. Quanto vale 2000· CE CB ?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0343 Fonte: apri PDF p.2
Triangle isosceles rectangle, two tangent circles, value 2000 CE/CB
In 2018 the Hill Valley clock was finally rebuilt: it now consists of an isosceles triangle ABC rectangle in C. The points D and E, respectively on the AC and CB sides, are joined by a segment parallel to AB. There are now two circular clocks, one inscribed on the ADE triangle and one inscribed on the ABE, which touch at a point on the AE segment. How much is 2000· EC CB ?
Answer: 0343 src_squadre_2018_semifinalea__Q13
Naturali a,b,c con b=a/c e cifre contenute, a massimo
Apertura quasi automatica Per sbloccare la porta della sua futura abitazione, Jensenfer Paerther deve trovare tre naturali a,b,c di rispettivamente tre, due e una cifra, con b = a c . Inoltre le cifre di b sono contenute in quelle di a, che è il massimo possibile. Quanto vale a? Il contenimento delle cifre è inteso con molteplicità, cioè ad esempio 32 è contenuto in 243 ma 33 non lo è.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0819 Fonte: apri PDF p.2
*Natural a,b,c with b=a/c and numbers contained, not more than *
To unlock the door of his future home, Jensenfer Paerther must find three natural a,b,c of three, two, and one digit, respectively, with b = a c. In addition, the digits of b are contained in those of a, which is the maximum possible. How much is it worth? The containment of figures is understood by multiplication, i.e. for example 32 is contained in 243 but 33 is not.
Answer: 0819 src_squadre_2018_semifinalea__Q14
Triangolo con angoli dati, ampiezza angolo PAK
Un fisico bestiale
DOC ha lasciato il fedele EisEinstein in un recinto extratemporale, che nelle dimensioni spaziali è un triangolo ABC con gli angoli in A,B,C di rispettivamente 50, 60, 70 gradi. Detti H il piede dell’altezza uscente da B e K il punto su AB con AH = AK, una recinzione rettilinea perpendicolare ad AB congiunge K al segmento BH, che interseca in P. EisEinstein, dotato di grande senso fisico, stima immediatamente l’ampiezza in gradi di
PAK: che valore trova?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Risposta: 0025 Fonte: apri PDF p.2
Triangle with data angles, angular width PAK
An animal physicist \ DOC left the loyal Eisenstein in an extra-temporal enclosure, which in spatial dimensions is an ABC triangle with angles in A,B,C of 50, 60, 70 degrees respectively. If H is the height foot coming out of B and K the point on AB with AH = AK, a straight fence perpendicular to AB joins K to the BH segment, which intersects in P. Eisenstein, endowed with great physical sense, immediately estimates the amplitude in degrees of \PAK: what value does he find?
Answer: 0025 src_squadre_2018_semifinalea__Q15
Rettangolo e triangolo, area quadrilatero CYXD
Una chitarra particolare Per provare il nuovo amplificatore di
DOC Matryx suona una strana chitarra: essa è formata da un rettangolo ABCD con AB > BC e da un triangolo ABP, con P che si trova sia nella striscia individuata dalle rette BC e DA sia nel semipiano individuato da AB che non contiene il lato CD. Chiamando X e Y le intersezioni di AB con rispettivamente PD e PC, la somma delle aree dei triangoli PAX e PBY è di 71cm2, mentre l’area di ABCD è 354cm2. Quanti cm2 vale l’area di CY XD? Gara a Squadre 3018 – Semifinale A – Testi dei problemi – 2/2U XIX Gara Nazionale a Squadre Semifinale A – Soluzioni – 4 Maggio 3018 olimpiadi.dm.unibo.it www.oliforum.it Nr. Problema
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Area: Geometria Risposta: 0248 Fonte: apri PDF p.2
Rectangle and triangle, quadrilateral area CYXD
A particular guitar To test the new amplifier of \ DOC Matryx plays a strange guitar: it consists of an ABCD rectangle with AB > BC and an ABP triangle, with P located both in the strip identified by the BC and DA directions and in the semiplane identified by AB that does not contain the CD side. Calling X and Y the intersections of AB with PD and PC respectively, the sum of the areas of the PAX and PBY triangles is 71cm2, while the area of ABCD is 354cm2. How many cm2 is the area of CY XD? Team competition 3018 Semi-final A Problem tests 2/2
U XIX National Team Semifinal Competition A Solution 4 May 3018 olimpiadi.dm.unibo.it www.oliforum.it Nr. The problem
Answer: 0248 src_squadre_2018_semifinalea__Q16