Massima minima differenza tra minions consecutivi in fila
10000 minions in fila Krull è un supercattivo criminale, ma dall’animo buono… Oggi è agitato perché pensa che non è ancora riuscito a rubare la luna! Per rilassarsi gli piace pensare a problemi matematici. Scende allora nel suo laboratorio e prende 10000 minions, suoi fidati aiutanti, numerati da 1 a 10000. Poi decide di metterli in fila in modo tale che la più piccola delle 9999 differenze in valore assoluto tra i numeri di due minions consecutivi sia più grande possibile. Quanto vale questa differenza?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5000 Fonte: apri PDF p.16
Minimum difference between consecutive minions in a row
10,000 minions in a row Krull is a supervillain criminal, but with a good spirit… Today he’s upset because he thinks he hasn’t been able to steal the moon yet! To relax, he likes to think about mathematical problems. He then goes down to his lab and takes 10,000 minions, his trusted assistants, numbered from 1 to 10,000. Then he decides to line them up so that the smallest of the 9999 absolute value differences between the numbers of two consecutive minions is as large as possible. How much is this difference worth?
Answer: 5000 src_squadre_2023_finale__Q01
Frazione area esagono accessibile al centro della moneta
Anche i cattivi lasciano la mancia Krull è talmente cattivo che, per saltare la fila al caffé, congela tutti con il suo raggio congelante e poi prende la tazza di caffè in mano alla barista esterrefatta dalla scena. Quindi Krull se ne va via fischiettando, ma non prima di aver messo nel barattolo delle mance una moneta di forma circolare di raggio √ 3cm. Il barattolo è un prisma retto con base un esagono regolare E di lato 10cm. Supponendo che la moneta sia caduta piatta sul fondo del barattolo, qual è la frazione di area di E su cui il centro della moneta può essere atterrato? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: 0041 Fonte: apri PDF p.16
Fraction of area over the centre of the coin
Even the bad guys leave the tip Krull is so bad that, to skip the line at the cafe, he freezes everyone with his freezing beam and then takes the cup of coffee in the hand of the barista out of the scene. So Krull walks away whistling, but not before he puts a circular coin in the tip jar with a radius of 3 cm. The jar is a straight prism with a regular E hexagon on the side of 10 cm. Assuming the coin has fallen flat on the bottom of the jar, what is the fraction of area of E on which the centre of the coin can land? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 0041 src_squadre_2023_finale__Q02
Somma 10 numeri iniziali Collatz-like che arrivano a 10
Minion di Collatz Il Dr. Nefarey sta sperimentando con dei minion un nuovo tipo di gas triplidimezzante. Se chiusi in una stanza piena di questo gas, succedono delle cose strane. Se i minions sono in numero pari, si dimezza il loro numero, ma se sono in numero dispari, si moltiplicano fino a raggiungere il triplo della popolazione iniziale, più uno. È un comportamento peculiare, visto che sembra che alla fine del processo rimanga sempre un minion solo! Il Dr. Nefarey vuole capire da quali quantità di minions può partire per arrivare ad un certo punto ad avere esattamente 10 minions. Per esempio, se mette nella stanza 20 minions, il numero di minions diventa immediatamente 10. A questo punto il professore sta cercando di trovare i più piccoli 10 numeri iniziali di minions, maggiori di 10 e diversi da 20, che permettono di avere esattamente 10 minions. Qual’è la somma di questi 10 numeri?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0164 Fonte: apri PDF p.16
Total of 10 Collatz-like initial numbers that come to 10
Minion by Collatz The Dr. Nefarey’s experimenting with minions with a new type of triple dimming gas. If you’re locked in a room full of this gas, strange things happen. If the minions are even in number, you halve their number, but if they are odd in number, they multiply until they reach three times the initial population, plus one. This is a peculiar behavior, since it seems that at the end of the process there is always a minion alone! Il Dr. Nefarey wants to figure out how many minions you can start from to get to a point where you have exactly 10 minions. For example, if you put 20 minions in the room, the number of minions immediately becomes 10. At this point the professor is trying to find the smallest 10 initial numbers of minions, greater than 10 and different from 20, which allows you to have exactly 10 minions. What’s the sum of these 10 numbers?
Answer: 0164 src_squadre_2023_finale__Q03
Somma quadrati perfetti con tutte le cifre 4 tranne la prima
Test della guardia Dopo aver scoperto che qualcuno è riuscito a rubare la piramide di Cheope, Krull decide che è finalmente l’ora di rubare la luna! Per farlo però ha bisogno di un prestito dalla banca del crimine. Per testare le qualità di supercriminale, all’entrata della banca la guardia chiede: “Quanto vale la somma di tutti i quadrati perfetti, con almeno due cifre, tali che tutte le cifre tranne la prima da sinistra sono dei 4?”. Cosa deve rispondere Krull per poter entrare e parlare con il direttore?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio per casi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1652 Fonte: apri PDF p.16
Summary of perfect squares with all 4 digits except the first
After discovering that someone managed to steal Cheope’s pyramid, Krull decides it’s finally time to steal the moon! But to do so, he needs a loan from the criminal bank. To test the qualities of a super-criminal, the guard at the entrance to the bank asks: “What is the sum of all perfect squares, with at least two digits, such that all the digits except the first one on the left are four?” What does Krull have to answer to get in and talk to the principal?
Answer: 1652 src_squadre_2023_finale__Q04
Distanza retta tangente s dal centro di Gamma2
Come rubare una piramide Nella sala d’attesa, Krull incontra Vector, colui che è riuscito a rubare la piramide. Incuriosito, gli chiede come ci è riuscito. Tronfio, Vector gli risponde: “Devi immaginarti due circonferenze Γ1 e Γ2 rispettivamente di raggi 7 e 41, tangenti esternamente nel punto P. Poi prendi r una retta tangente ad entrambe le circonferenze e sia Q il punto di tangenza di r con Γ2 (che è diverso da P). Presa R l’intersezione distinta da P tra la retta PQ e Γ1, considera poi s la retta tangente a Γ1 in R. Ti sarebbe chiaro come ci sono riuscito se tu sapessi quanto è distante la retta s dal centro di Γ2!”. “Eeeeh? E come mi aiuterebbe a capirlo?”. Rispondi con la distanza di s dal centro di Γ2.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: 0027 Fonte: apri PDF p.16
Right tangent distance s from the centre of Gamma2
In the waiting room, Krull meets Vector, who managed to steal the pyramid. Curious, he asks him how he did it. Tronfio, Vector replies: “You must imagine two circumferences Γ1 and Γ2 of rays 7 and 41, respectively, tangent externally at the point P. Then you take r a tangent line at both circumferences and Q is the tangent point of r with Γ2 (which is different from P). Given that R is the P-distinguished intersection between the PQ straight and Γ1, consider the tangent line at Γ1 in R. You’d know how I did it if you knew how far the straight s is from the center of Γ2!” “Hey, what? And how would it help me understand?” Answer by the distance of s from the center of Γ2.
Answer: 0027 src_squadre_2023_finale__Q05
Modi di distribuire 5+4+3 stuzzichini a 4 persone
Stuzzichini di benvenuto Krull prende in affido Maria, Gaetana e Agnese, affinché si possano infiltrare a casa di Vector. Le accoglie con alcuni Gara a Squadre 2023 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 1/3
stuzzichini di benvenuto: 5 tranci di pizza, 4 sfilatini al formaggio e 3 involtini di zucchine. I quattro mangiano tutto e nessuno resta a digiuno. In quanti modi possono farlo, sapendo che gli stuzzichini non vengono divisi in parti più piccole?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7316 Fonte: apri PDF p.16
How to distribute 5+4+3 snacks to 4 people*
Krull takes Maria, Gaetana, and Agnese in his custody so they can infiltrate Vector’s house. He welcomes them with some 2023 Team Competition National Final Problem Tests 1/3
Welcome snacks: five slices of pizza, four cheese slides and three sugar beets. The four eat everything and no one fastes. How many ways can they do this, knowing that the spices are not broken down into smaller pieces?
Answer: 7316 src_squadre_2023_finale__Q06
Rapporto GK/AH con baricentro e altezze
Passatempo I: Gaetana e il suo triangolo murale Maria, Gaetana e Agnese si stanno annoiando a casa di Krull e allora ognuna di loro pianta un chiodo nel muro, per divertirsi… I tre chiodi formano un triangolo ABC. Gaetana, che ama la geometria, prende un bel pennarello nero e disegna il baricentro G del triangolo sul muro, e successivamente anche H, il piede dell’altezza relativa ad A e K il piede della perpendicolare a BC condotta da G. Quanto vale il rapporto GK AH ? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio per casi Area: Geometria Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.17
GK/AH ratio with centreline and height
Gaetana and her wall triangle Maria, Gaetana and Agnese are getting bored at Krull’s house and then each of them plant a nail in the wall to have fun… The three nails form an ABC triangle. Gaetana, who loves geometry, takes a nice black pennarello and draws the baricenter G of the triangle on the wall, and later also H, the foot of height relative to A and K the foot of the perpendicular to BC led by G. How much is the GK AH report ? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 0004 src_squadre_2023_finale__Q07
Numero minimo biglie con condizioni 23x e 88x
Passatempo II: Dove prende le palline Agnese? Agnese trova due barattoli dove sono presenti delle biglie esplosive. Deve prendere N biglie per andare a giocare con le sorelle, e si accorge che se le prende tutte dal primo barattolo, poi nel secondo ci saranno 23 volte le biglie rimaste nel primo barattolo; se invece le prende tutte nel secondo barattolo, le biglie nel primo risulteranno 88 volte quelle rimaste nel secondo. Qual è il numero minimo di biglie che servono ad Agnese?
Topic: Teoria dei Numeri Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2023 Fonte: apri PDF p.17
Minimum number of bags with conditions 23x and 88x
Where does Agnese get the balls? Agnese finds two jars containing explosive particles. He has to take N balls to go play with the sisters, and he realizes that if he takes them all from the first jar, then in the second there will be 23 times the balls left in the first jar; if he takes them all in the second jar, the balls in the first will be 88 times the ones left in the second jar. What’s the minimum number of balls Agnese needs?
Answer: 2023 src_squadre_2023_finale__Q08
Valore medio di n a fine gioco dei cavalli su scacchiera 3x3
Passatempo III: Maria e gli scacchi Maria è un’amante degli scacchi, e per passare il tempo decide di giocare al seguente solitario, sperando che duri molto… Posiziona quattro cavalli ai vertici di una scacchiera 3×3. Poi muove i cavalli come negli scacchi, da un vertice ad un altro di un sottorettangolo 2×3 della scacchiera. Inizialmente, n = 0. Ad ogni turno, Maria compie le seguenti operazioni: muove ognuno dei cavalli in una casella che può legalmente raggiungere, scelta a caso, indipendentemente, con probabilità uniforme: in questa operazione non è un problema se due o più cavalli si trovano nella stessa casella. incrementa n di 1. se più cavalli si trovano nella stessa casella, li rimuove tutti tranne uno. Se al termine di un turno rimane un solo cavallo, il gioco termina. Quanto vale n, in media, quando il gioco finisce?
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0010 Fonte: apri PDF p.17
Mean value of n at the end of the game of horses on a chessboard 3x3
Maria is a chess lover, and as time goes on, she decides to play the next solitary, hoping it will last a long time… Place four horses at the top of a chessboard 3×3. Then he moves the horses like in chess, from one vertex to another of a sub-angle 2×3 of the chessboard. Initially, n is equal to 0. At each turn, Maria performs the following operations: she moves each of the horses into a box that she can legally reach, chosen at random, independently, with uniform probability: in this operation it is not a problem if two or more horses are in the same box. Increases n by 1. If there are more than one horse in the same box, he removes all but one. If there is only one horse left at the end of a turn, the game is over. What’s n worth, on average, when the game’s over?
Answer: 0010 src_squadre_2023_finale__Q09
Numero squadre da procedura su scritture in base 3
10000 minions da dividere Krull deve dividere 10000 minions in gruppi, affinché svolgano diverse mansioni. Per farlo, decide di usare questa procedura strampalata: innanzitutto li numera da 1 a 10000. Poi ogni minion deve prendere il suo numero a, scriverlo in base 3 e cancellare le cifre 2. Poi, se sono presenti più di due cifre 1, deve eliminare tutte le cifre più a sinistra del secondo 1 a partire da destra; il numero binario che si ottiene è il numero della squadra (eventualmente 0) a cui verrà assegnato a quel minion. Ad esempio il minion 115 = 110213 viene assegnato alla squadra 1012 = 5. Quante squadre comporrà in questo modo Krull?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0046 Fonte: apri PDF p.17
Number of written procedure teams based on 3
10000 minions to be divided Krull must divide 10000 minions into groups, so that they perform different tasks. To do this, he decides to use this tricky procedure: first, number them from 1 to 10,000. Then each minion has to take his number a, write it in base 3 and delete the digits 2. Then, if there are more than two digits 1, he must eliminate all the digits to the left of the second 1 starting from the right; the binary number that is obtained is the number of the team (possibly 0) to which that minion will be assigned. For example, the minion 115 = 110213 is assigned to the team 1012 = 5. How many teams will Krull make this way?
Answer: 0046 src_squadre_2023_finale__Q10
Naturali tra 1 e 4092 non ottenuti cancellando 3 cifre da quadrati
Rituale della buonanotte Dal momento che Krull non legge la storia della buonanotte, Gaetana per addormentarsi scrive alla lavagna i quadrati dei numeri naturali n da 10 a 2023 (quindi scrive 100,121,…,4092529). Successivamente Agnese cancella le ultime tre cifre (unità, decine e centinaia) di ogni numero scritto. Quindi Maria rimbocca loro le coperte e osservando i numeri che restano, si chiede: quanti sono i numeri naturali compresi tra 1 e 4092 che non compaiono sulla lavagna? Seconda parte: l’attuazione
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2319 Fonte: apri PDF p.17
Natural numbers between 1 and 4092 not obtained by deleting 3 square digits
Since Krull does not read the story of the good night, Gaetana writes on the board the squares of the natural numbers n from 10 to 2023 (so he writes 100,121,…,4092529). Later, Agnes deletes the last three digits (units, tens, and hundreds) of each written number. So Mary rolls over their covers and looking at the numbers that are left, she wonders, how many natural numbers between 1 and 4092 are missing on the board? Part Two: Implementation
Answer: 2319 src_squadre_2023_finale__Q11
Numero minimo confezioni da 83 per biscotti in teglie da 68
Un dolce ingresso [⋆] Le tre bimbe si infiltreranno a casa di Vector con la scusa di vendere biscotti facendolo scegliere tra 82 tipi diversi. I minions si occupano di cucinarli: preparano teglie da 68 biscotti; una teglia del primo tipo, due del secondo tipo e così via, fino all’82-esimo tipo di biscotto di cui ne infornano 82 teglie. Le confezioni le ha procurate il Dr. Nefarey, che però ha capito male al telefono e le ha prese da 83 biscotti l’una. Sapendo che in ogni confezione vengono messi biscotti di un solo tipo, e che tutti i biscotti cucinati vengono confezionati, qual è il numero minimo di confezioni che i minions dovranno usare?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2829 Fonte: apri PDF p.17
*Minimum number of packages from 83 for biscuits in 68 panes *
The three girls will infiltrate Vector’s house under the pretext of selling cookies by making him choose between 82 different types. The minions cook them: they prepare 68 biscuits; one of the first type, two of the second type, and so on, up to the 82nd type of biscuit, of which 82 are baked. The packages were obtained by Dr. Nefarey, who, however, misunderstood the phone and took 83 cookies a day. Knowing that each package contains only one type of cookie, and that all cooked cookies are packaged, what is the minimum number of packages that minions will need to use?
Answer: 2829 src_squadre_2023_finale__Q12
AXXY con quadrati sui lati e retta di Steiner*
La casa quadratica di Vector [⋆⋆] La casa di Vector è costruita attorno alla piscina dove vive il suo squalo: essa è un triangolo ABC con AB = 20m, AC = 23m e BC = 29m. Sul lato BC viene costruito il quadrato BCC1B2, nella stessa parte di piano in cui si trova il triangolo. Analogamente vengono costruiti CAA1C2 e ABB1A2. I lati di questi tre quadrati costituiscono le mura della casa. I condotti per l’aria condizionata sono B1B2 e C1C2; essi intersecano A1A2, rispettivamente, in P e Q. La retta per P perpendicolare ad AB e la retta per Q perpendicolare ad AC si incontrano in X, la presa d’aria centrale, da cui Krull dovrà scendere senza farsi vedere da Vector. il corridoio AX, che passa sopra la piscina interseca la circonferenza circoscritta ad ABC nuovamente in Y (che è finalmente l’uscita!). Determinare AX ·XY in m2. Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini. Gara a Squadre 2023 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 2/3
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0593 Fonte: apri PDF p.17
AXXY with sides squared and straight Steiner*
Vector’s square house [⋆⋆] Vector’s house is built around the pool where his shark lives: it is an ABC triangle with AB = 20m, AC = 23m and BC = 29m. On the BC side the square BCC1B2 is constructed, in the same part of the plane in which the triangle is located. Similarly, CAA1C2 and ABB1A2 are built. The sides of these three squares form the walls of the house. The air conditioning ducts are B1B2 and C1C2; they intersect A1A2, respectively, in P and Q. The line for P perpendicular to AB and the line for Q perpendicular to AC meet in X, the central air intake, from which Krull will have to descend without being seen by Vector. The AX corridor, which passes over the pool, intersects the circumference circumscribed at ABC again in Y (which is finally the exit!). Determine AX ·XY in m2. Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms. 2023 Team Competition National Final Problem Tests 2/3
Answer: 0593 src_squadre_2023_finale__Q13
Area minima tabellone di quadrati distinti somma lati 2023
Tiro al bersaglio Per festeggiare il successo della missione Krull e le tre bimbe si recano al Luna Park. Lo stand del tiro al bersaglio è stato costruito per minimizzare l’area da poter colpire. Il tabellone è formato da una serie di quadrati affiancati; la somma delle lunghezze dei loro lati è 2023mm e ciascuno ha come lato un numero intero di mm. Inoltre i quadrati sono tutti di dimensioni diverse. Qual è la minima area totale del tabellone in mm2?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6191 Fonte: apri PDF p.18
Minimum area table of distinct squares sum of sides 2023
To celebrate the success of the Krull mission, the three girls head to Luna Park. The target shooting stand was built to minimize the area to hit. The table is made up of a series of adjacent squares; the sum of the lengths of their sides is 2023mm and each side has an integer number of mm. Besides, the squares are all different sizes. What is the minimum total area of the table in mm2?
Answer: 6191 src_squadre_2023_finale__Q14
Lunghezza percorso triangolare riflesso nel quadrilatero
Un minion davvero mignon Kelvin sta portando il raggio restringente nel locale di sicurezza, che è una stanza con le pareti a specchio. La planimetria della stanza è un quadrilatero ABCD tale che ! ABC = 90°, ! CDA = 90°, ! BCD = 36°, BC = 2,8m e BD = 1,8m. Kelvin è nel vertice A e giocando con il raggio restringente accidentalmente spara puntando sul lato BC, parallelamente al pavimento e il raggio, dopo aver colpito una volta la parete BC e una volta la parete CD, torna di nuovo sul punto A, chiudendo un percorso triangolare e restringendo lo sprovveduto Kelvin. Qual è la lunghezza complessiva percorsa dal raggio, in cm?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Risposta: 0360 Fonte: apri PDF p.18
Triangular path length reflected in the quadrilateral
A really cute little Kelvin is taking the restrictive beam into the security room, which is a room with mirrored walls. The layout of the room is such an ABCD quadrilateral ! ABC is 90°! CDA = 90°, BCD = 36°, BC = 2,8m and BD = 1,8m. Kelvin is in the A-top and playing with the restricting beam accidentally shoots by pointing at the BC side, parallel to the floor and the beam, after hitting once the BC wall and once the CD wall, returns to the A-point, closing a triangular path and narrowing the failed Kelvin. What is the total length of the radius in cm?
Answer: 0360 src_squadre_2023_finale__Q15
Distanza Bob-Kelvin con bisettrice e altezze
La cerimonia del tè L’esercito dei minions sta costruendo il razzo che permetterà a Krull di rubare la luna. Nel frattempo i minion Stewart, Kelvin e Bob tengono impegnate le tre bimbe. Maria, Gaetana e Agnese si apprestano a giocare alla cerimonia del tè. Si trovano sui vertici di un triangolo di lati AB = 165 cm, BC = 220 cm e AC = 275 cm. I minion Stewart e Kelvin si trovano rispettivamente in S, il piede della bisettrice uscente da A e in K, il piede dell’altezza relativa a B. Arriva un po’ in ritardo Bob, che si siede sul piede dell’altezza relativa ad S del triangolo ACS; finalmente tutti possono iniziare a sorseggiare il tè! Quanto distano in cm Bob e Kelvin?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: 0066 Fonte: apri PDF p.18
Bob-Kelvin distance with beam and height
The Army of Minions is building the rocket that will allow Krull to steal the moon. Meanwhile, the minions Stewart, Kelvin and Bob keep the three girls busy. Maria, Gaetana and Agnese are preparing to play the tea ceremony. They are located on the vertices of a triangle of sides AB = 165 cm, BC = 220 cm and AC = 275 cm. The Stewart and Kelvin minions are respectively in S, the foot of the bishop coming out of A, and in K, the foot of height relative to B. Bob arrives a little late, sitting at the foot of the S-height of the ACS triangle; finally everyone can start sipping tea! How far are Bob and Kelvin in centimeters?
Answer: 0066 src_squadre_2023_finale__Q16
Somma complessita binaria c(n) da 1 a 2048
Traiettoria per l’allunaggio [⋆] Il Dr. Nefarey sa che la complessità binaria c(n) di un numero naturale n è il minimo numero di potenze di 2 necessario per scrivere n come somma o differenza di potenze di 2. Ad esempio c(4) = 1 poiché 4 = 22, c(15) = 2 poiché 15 = 24 −20 e c(23) = 3 infatti 23 = 24 +23 −20. Per settare la traiettoria in modo che il razzo raggiunga la luna deve calcolare c(1)+c(2)+c(3)+…+c(2047)+c(2048). Che valore ottiene?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8420 Fonte: apri PDF p.18
Complex binary sum c(n) from 1 to 2048
I’m not going to be able to tell you what to do. Nefarey knows that the binary complexity c(n) of a natural number n is the minimum number of powers of 2 needed to write n as the sum or difference of powers of 2. For example c(4) = 1 because 4 = 22, c(15) = 2 because 15 = 24 −20 and c(23) = 3 because 23 = 24 +23 −20. To set the trajectory so that the rocket reaches the moon, it must calculate c(1) + c(2) + c(3) +…+ c(2047) + c(2048). What value does it get?
Answer: 8420 src_squadre_2023_finale__Q17
Differenza somme poltrone blu e arancioni con triangolo di Tartaglia
Poltrone numerate in modo bislacco Lo spettacolo di danza di Maria, Gaetana e Agnese si svolge in un teatro la cui platea è costituita da 2022 file da 2023 poltrone ciascuna. La numerazione è particolare e ripetitiva: nella prima fila i numeri sono, in sequenza, la prima e la 2022-esima riga del triangolo di Tartaglia (in quest’ordine), nella seconda fila i numeri sono, sempre in sequenza e in quest’ordine, la seconda e la 2021-esima riga del triangolo di Tartaglia, e così via. Quindi, per ogni j intero tra 1 e 2022, nella j-esima fila le poltrone sono state numerate con la j-esima riga e la (2023−j)-esima riga del triangolo di Tartaglia. Inoltre, poltrone che sono collocate in posizione pari di una fila pari sono arancioni, mentre poltrone in posizione dispari di una fila dispari sono blu, e le restanti gialle. Quanto vale la differenza tra la somma dei numeri assegnati alle poltrone blu e la somma dei numeri assegnati alle poltrone arancioni?
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0001 Fonte: apri PDF p.18
Difference between blue and orange seats with Tartaglia triangle
The dance show of Maria, Gaetana and Agnese takes place in a theatre whose audience is made up of 2022 rows of 2023 seats each. The numbering is particular and repetitive: in the first row the numbers are, in sequence, the first and 2022-th row of the Tartaglia triangle (in this order), in the second row the numbers are, always in sequence and in this order, the second and 2021-th row of the Tartaglia triangle, and so on. So, for every integer j between 1 and 2022, in the j-eighth row the seats were numbered with the j-eighth row and the (2023−j) -eighth row of the Tartaglia triangle. In addition, chairs that are placed in equal positions of an equal row are orange, while chairs in odd positions of an odd row are blue, and the remaining chairs are yellow. What is the difference between the sum of the numbers assigned to the blue seats and the sum of the numbers assigned to the orange seats?
Answer: 0001 src_squadre_2023_finale__Q18
f(10) con f ottenuta da (x-1)^9 modificando i termini
Codice di rientro [⋆⋆] Dopo aver recuperato la luna, Krull si accorge che potrebbe essere ancora in tempo per il balletto di Maria, Gaetana e Agnese. Allora cerca di immettere subito il codice di rientro p(10), dove p(x) è il polinomio (x−1)9. Tuttavia nella fretta si confonde e considera invece f(x), la funzione ottenuta copiando l’espressione di p(x) e sostituendo ogni termine del tipo anxn con annx. Quanto vale f(10), il numero veramente inserito da Krull? Si diano le prime 4 cifre del risultato.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1632 Fonte: apri PDF p.18
f(10) with f obtained from (x-1)^9 by modifying the terms
After recovering the moon, Krull realizes that it may still be time for the ballet of Maria, Gaetana and Agnese. Then try to enter the return code p(10), where p(x) is the polynomial (x−1)9. However, in a hurry it is confused and considers instead f(x), the function obtained by copying the expression of p(x) and replacing each term of the type anxn with annx. How much is f(10), the number actually entered by Krull? Give each other the first four digits of the result.
Answer: 1632 src_squadre_2023_finale__Q19
Numeri n in 1-100 con Q(n) multiplo di n (somma coprimi)
Il riscatto Krull è arrivato troppo tardi: il balletto è finito e Vector ha rapito le tre bimbe. Ha lasciato però un biglietto in cui definisce Q(n) come la somma dei numeri naturali minori o uguali ad n che non hanno fattori primi in comune con n (ad esempio Q(1) = 1, Q(5) = 1+2+3+4 e Q(15) = 1+2+4+7+8+11+13+14). Krull per riscattare le tre bimbe deve rispondere alla domanda lasciata da Vector in fondo al biglietto: quanti sono i numeri interi n compresi tra 1 e 100 tali che Q(n) sia un multiplo di n?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0099 Fonte: apri PDF p.18
*Numbers n in 1-100 with Q(n) multiple of n (sum of covers) *
Krull’s ransom came too late: the ballet is over and Vector has kidnapped the three girls. However, he left a note in which he defines Q(n) as the sum of the natural numbers less than or equal to n that have no prime factors in common with n (e.g. Q(1) = 1, Q(5) = 1+2+3+4 and Q(15) = 1+2+4+7+8+11+13+14). Krull must answer the question left by Vector at the end of the note: how many integers n between 1 and 100 are such that Q(n) is a multiple of n?
Answer: 0099 src_squadre_2023_finale__Q20
Valori b con x^3-23x^2+ax-b^2 a 3 radici intere
Festeggiamenti algebrici Krull riesce a salvare le bimbe e rispedire la luna (insieme a Vector) in cielo. È tempo di festeggiare!! Quale modo migliore se non risolvendo un bel problema di algebra? Se p(x) = x3 −23x2 +ax−b2 è un polinomio con 3 radici intere (non necessariamente distinte) tale che a,b sono due numeri naturali, quali valori può assumere b? Dare come risposta la somma di tutti i valori possibili. Gara a Squadre 2023 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 3/3
Ministero dell’Istruzione e del Merito XXIV Gara Nazionale a Squadre Finale Nazionale – Sabato 6 Maggio 2023 Soluzioni Nr. Problema
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0081 Fonte: apri PDF p.18
Values b with x^3-23x^2+ax-b^2 at 3 whole roots
Algebraic celebrations Krull manages to save the girls and send the moon (along with Vector) back to the sky. It’s time to celebrate!! What better way than solving a nice algebra problem? If p(x) = x3 −23x2 +ax−b2 is a polynomial with 3 whole roots (not necessarily distinct) such that a,b are two natural numbers, what values can b assume? Give the sum of all possible values as a response. 2023 Team Competition National Final Problem Tests 3/3
Ministry of Education and Merit XXIV National Final Team Competition Saturday 6 May 2023 Solutions Nr. The problem
Answer: 0081 src_squadre_2023_finale__Q21