Area unione tre rettangoli, AB=20 BC=40
Festa al castello SherLog Hodge, il famoso detective, osserva di nascosto i 33 partecipanti ad una festa. Sa che alcuni sono dalla sua parte, gli altri invece sono fedeli al suo acerrimo nemico Mongearty. Alcuni partecipanti si stringono la mano, ma solo se non si conoscevano prima. Sapendo che gli appartenenti ad una stessa fazione già si conoscevano, al massimo quante strette di mano ha potuto osservare SherLog?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Fonte: apri PDF p.12
Area of three rectangles, AB=20 BC=40
Party at SherLog Hodge Castle, the famous detective, covertly watches the 33 party participants. He knows that some are on his side, while others are loyal to his bitter enemy, Mongearty. Some participants shake hands, but only if they didn’t know each other before. Knowing that members of the same faction already knew each other, how many handshakes did SherLog observe?
src_squadre_2024_femminile__Q01
p(12) con p(2R)=2p(R)+2R^2-1 e somma coefficienti 2
Tentativo di cattura SherLog Hodge ed il fido Wolfram costruiscono una trappola per incastrare Mongearty. Si tratta di un rettangolo ABCD con AB lungo 48dm e BC lungo 20dm. Sulla diagonale AC viene costruito un rettangolo in modo tale che AC sia un lato ed il lato ad esso opposto passi per B. Allo stesso modo su BD si costruisce un rettangolo passante per A. Se Mongearty entrerà nell’area costituita dall’unione dei tre rettangoli, la trappola scatterà. Wolfram si chiede se l’area sia sufficiente. Quanto vale l’area, in dm2?
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.12
p(12) with p(2R)=2p(R) +2R^2-1 and sum of coefficients 2
Attempting to capture SherLog Hodge and trusted Wolfram build a trap to trap Mongearty. It is an ABCD rectangle with AB length 48dm and BC length 20dm. On the AC diagonal a rectangle is constructed such that AC is one side and the side opposite it passes through B. In the same way on BD you build a rectangle passing through A. If Mongearty enters the area formed by the union of the three rectangles, the trap will break out. Wolfram wonders if the area is enough. How much is the area in dm2?
src_squadre_2024_femminile__Q02
Somma interi 20ab divisibili per ab-1
Quesito nel romanzo La nota scrittrice di libri gialli Jessica Fourier ama piazzare qualche quesito matematico nei suoi romanzi. Nella sua ultima fatica chiede al lettore quante siano le coppie (x,y) di interi con |y| ≤4000 per cui esiste un intero positivo k che soddisfa la relazione x2 +y2 +22k−1 +2kx−2ky = 0. Qual è la risposta?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.12
Total of 20ab integers divisible by ab-1
Noted yellow book writer Jessica Fourier likes to put some math questions in her novels. In its last effort, it asks the reader how many pairs (x,y) of integers with \\displaystyle \\mathbb {≤4000} are so there exists a positive integer k that satisfies the relation x2 +y2 +22k−1 +2kx−2ky = 0. What’s the answer?
src_squadre_2024_femminile__Q03
Massimo intero che divide p(2024) con p(1)=7 p(2)=15
La strada verso il rifugio L’ispettore Gauget si trova alla base di una montagna conica di apotema lungo 600 m e raggio di base 150 m. Deve catturare un fuggitivo, nascosto nel rifugio che si trova sul lato della montagna a esattamente 150 m da lui verso la vetta della montagna. Per arrivare al rifugio, l’ispettore percorre la strada più corta che faccia anche un giro completo intorno alla montagna; osserva che curiosamente, la strada percorsa è per un primo tratto in salita e poi in discesa. Quanti metri è lungo il tratto in salita?
Topic: Algebra Metodo: congruenze Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.12
Maximum integer dividing p(2024) by p(1) = 7 p(2) = 15
The road to Inspector Gauget’s shelter lies at the base of a 600 m long conical mountain with a base radius of 150 m. He must capture a fugitive, hidden in the shelter that is on the side of the mountain exactly 150 meters from him towards the top of the mountain. To reach the shelter, the inspector takes the shortest route, which also makes a complete tour around the mountain; note that, curiously, the route is firstly up and then down. How many meters is the climb?
src_squadre_2024_femminile__Q04
Scritture di 7 caratteri con esattamente 210 anagrammi
Pizzini per MontyHallbano Il boss dei Sin(agra) impartisce ordini in codice utilizzando sequenze di esattamente tre lettere, tutte distinte, prese da un alfabeto che ha in tutto n lettere. Il commissario MontyHallbano non sa tradurre gli ordini scritti sui pizzini, ma sa che il numero totale di possibili sequenze è multiplo di 11 e di 19. Quanto vale n, come minimo?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.12
Scripts of 7 characters with exactly 210 anagrams
Pizzini for MontyHallbano The boss of the Sin(agra) gives code orders using sequences of exactly three letters, all distinct, taken from an alphabet that has all n letters. Commissioner MontyHallbano cannot translate the orders written on the plates, but he knows that the total number of possible sequences is multiple of 11 and 19. How much is n worth, at least?
src_squadre_2024_femminile__Q05
Somma na_n^2024 con a_n opposto somma divisori propri*
La generosità di Zenonigata Zenonigata è talmente ossessionato da Lupin/3 che ha promesso che, quando lo catturerà, regalerà ai colleghi tanti MathYen quanto vale la somma delle cifre della somma delle cifre della somma delle cifre di 20232024. Quanti MathYen sono?
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.12
sum na_n^2024 with a_n opposite sum of proper divisors*
The generosity of Zenonigata Zenonigata is so obsessed with Lupin/3 that he has promised that when he captures him, he will give to his colleagues as many MathYen as the sum of the digits of the sum of the digits of the sum of the digits of 20232024. How many MathYen are there?
src_squadre_2024_femminile__Q06
Probabilita evitare caselle (k,k+2) su griglia 2024
La sfida di Jessica Fourier Jessica Fourier ha il classico blocco dello scrittore matematico. Per distrarsi sfida il Dr. Sette: entrambi hanno un foglio con disegnata un’identica circonferenza e devono ritagliare un quadrilatero. Entrambi i quadrilateri devono avere la stessa area. Il Dr. Sette ritaglia il quadrato inscritto nella circonferenza. Jessica invece traccia una corda AB a distanza 400mm dal centro C e le tangenti nei punti A e B alla circonferenza che si intersecano in P. Quindi ritaglia il quadrilatero CAPB. Quanto misura il raggio delle due circonferenze identiche in mm?
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.12
Probability of avoiding boxes (k,k+2) on the 2024 grid
Jessica Fourier’s challenge Jessica Fourier has the classic math writer’s block. To distract himself, he challenges Dr. Seven: both have a sheet with an identical circumference drawn and have to cut a quadrilateral. Both quadrilaterals must have the same area. Il Dr. Seven cuts the square inscribed in the circumference. Jessica instead draws an AB rope 400 mm from center C and the tangents at points A and B to the circumference that intersect in P. So cut the CAPB quadrilateral. What is the radius of the two identical circumferences in mm?
src_squadre_2024_femminile__Q07
Lunghezza DA quadrilatero ciclico con AEB=60
Vicini di tavola Attorno ad una tavola rotonda siedono 10000 persone, ma purtroppo ognuna di esse potrebbe essere un membro della famigerata Organizzazione Nera. Di queste persone, 4248 pronunciano la seguente frase: “Tra me e le due Gara a Squadre 2024 – Semifinale 1 – Testi dei problemi – 1/2
persone al mio fianco si nascondono almeno due membri dell’Organizzazione”; tutte le altre invece dichiarano :“Tra me e le due persone al mio fianco si nasconde al più un membro dell’Organizzazione”. Il detective Kolmogoro, dietro “suggerimento” di coNaN, conclude: “Assumendo che i membri dell’Organizzazione mentano sempre e che tutti gli altri dicano sempre la verità, è possibile che il numero di membri dell’Organizzazione sia…”. Con quanti numeri diversi Kolmogoro avrebbe potuto terminare la frase?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Fonte: apri PDF p.13
Cyclic quadrilateral DA length with AEB=60
Around a round table there are 10,000 people, but unfortunately each of them could be a member of the notorious Black Organization. Of these people, 4248 say the following sentence: Between me and the two 2024 Team Games Semifinal 1 Problem Tests 1/2
People at my side hide at least two members of the Organization; all the others, on the other hand, declare: Detective Kolmogoro, behind coNaN’s suggestion, concludes: Assuming that the members of the Organization always lie and that everyone else always tells the truth, it is possible that the number of members of the Organization is… With how many different numbers could Kolmogoro finish the sentence?
src_squadre_2024_femminile__Q08
Ultime 4 cifre di c_2024 con tre successioni concatenate
Il disegno di Fuzzy [⋆] L’ispettore Giuseppe Fuzzy, collaboratore di MontyHallbano, disegna un triangolo ABC isoscele in A. Prende poi i punti D ed E rispettivamente sui lati AC e AB tali che DE è parallelo a BC. Detta P l’intersezione fra i segmenti BD e CE, osserva che
BPC = 60°. Sa, inoltre, che le circonferenze inscritte nel quadrilatero ADPE e nel triangolo BPC hanno raggi congruenti, e che l’altezza del triangolo ABC relativa al vertice A misura 1200. Chiede quindi al commissario MontyHallbano: quanto misura il lato AC?
Topic: successioni Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.13
The last four digits of c_2024 with three consecutive concatenations
The design by Fuzzy [⋆] Inspector Giuseppe Fuzzy, MontyHallbano’s collaborator, draws an isosceles ABC triangle in A. It then takes the D and E points respectively on the AC and AB sides such that DE is parallel to BC. The intersection between the BD and EC segments shows that \ BPC = 60°. It is also known that the circumferences in the quadrilateral ADPE and the triangle BPC have congruent radii and that the height of the triangle ABC relative to the vertex A is 1200. He then asks Commissioner MontyHallbano: How big is the AC side?
src_squadre_2024_femminile__Q09
Numero triangoli da terne di travi tra 10 punti su cerchio
Il quesito del tenente Il tenente Coulomb ha già capito chi è il colpevole, per cui gioca di psicologia per farlo confessare. La domanda che Coulomb pone, e che fa crollare il sospettato, è la seguente: in quanti dei sottoinsiemi non vuoti di {1,2,…,12} il prodotto degli elementi ha zero come cifra delle unità?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.13
Number of beam triangles between 10 points per circle
Lieutenant Coulomb has already figured out who the culprit is, so he’s playing psychology to get him to confess. The question that Coulomb asks, and which brings down the suspect, is this: how many of the nonempty subsets of {1,2,…,12} does the product of the elements have zero as the number of units?
src_squadre_2024_femminile__Q10
Possibili prodotti di n interi con cifra aggiunta a sinistra
Gioco perverso [⋆] Mongearty ha catturato il povero Wolfram e lo ha piazzato nel centro di un poligono regolare di 2024 vertici. Per deridere SherLog Hodge, Mongearty fa un gioco perverso: sceglie a caso un sottoinsieme C di 100 vertici tali che non ve ne siano due opposti rispetto al centro del poligono. Poi costruisce tutti i possibili triangoli con vertici in C: se Wolfram è esterno a tutti questi triangoli avrà salva la vita. SherLog ha già calcolato quale sia la frazione f, ridotta ai minimi termini, corrispondente alla probabilità che Wolfram sopravviva. Quanto vale il numeratore di f?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.13
Possible products of n integers with the left-hand number added
Perverse game [⋆] Mongearty captured poor Wolfram and placed him in the center of a regular polygon of 2024 peaks. To mock SherLog Hodge, Mongearty plays a perverse game: he randomly chooses a subset C of 100 vertices such that there are no two opposites to the center of the polygon. Then he builds all the possible triangles with vertices in C: if Wolfram is outside all these triangles he’ll save his life. SherLog has already calculated the fraction f, reduced to the minimum, corresponding to the probability that Wolfram will survive. How much is the f-number?
src_squadre_2024_femminile__Q11
Numero deltaedri convessi a facce triangoli equilateri lato 1
Foglietto con indizio Sulla scena del crimine, Hermite Poinsot trova un foglietto recante una sequenza di numeri: il primo termine è 1 mentre l’n-esimo termine è la somma del k-esimo termine (dove k è la parte intera della radice di n) e del valore assoluto della differenza tra n e il quadrato perfetto ad esso più vicino. Hercule nota che la differenza tra gli ultimi due numeri è 10: quanto è lunga al minimo la sequenza? Fornire l’esponente di 2 nella fattorizzazione in fattori primi. 13. Scansionando numeri Un numero n ha una scrittura consecutiva se esiste una sequenza di almeno due interi positivi consecutivi tali che la loro somma sia n. Tra i vari gadget dell’ispettore Gauget vi è il consecutivometro: dato un numero n, il consecutivometro restituisce il numero di scritture consecutive di n. Per risolvere l’ultimo caso l’ispettore usa il consecutivometro su tutti i numeri da 1 a 101 e somma tutti i valori ottenuti. Quanto vale questa somma? 14. Chiamate gli artificieri! MontyHallbano ha avuto una soffiata: una cella terroristica ha nascosto una bomba in una rotonda circolare. Il Commissario è già riuscito a localizzare la rotonda, perché sa che sui bordi ci sono 3 angeli: A e B agli estremi di un diametro e l’altro angelo X forma un angolo
XAB = 30°. Inoltre, con gli indizi raccolti, Fuzzy sta disegnando la mappa: traccia un altro diametro XY = 18m e chiama C,D rispettivamente le intersezioni tra le rette AX e AY con la tangente alla rotonda condotta da B. M e N sono i punti medi di BX e BY . La bomba è stata piazzata nell’intersezione delle rette CM e DN. Gli artificieri hanno bisogno di conoscere la distanza precisa di A dalla bomba. Quanto vale questa distanza in cm? 15. Palline magiche Il sospettato che Hermite Poinsot sorveglia ha inscenato un gioco di magia per confondere il detective. Inizialmente ha in mano 2 palline rosse; ad ogni passaggio compie una tra le seguenti mosse: aggiunge una pallina blu ed una pallina rossa; aggiunge una pallina blu e toglie una pallina rossa; aggiunge due palline verdi. Dichiara che quando avrà in mano 11 palline blu, 9 rosse e 4 verdi sparirà, inoltre vuole raggiungere l’obiettivo usando il numero minimo possibile di mosse. In quanti modi può farlo? 16. Neanche stavolta L’ispettore Zenonigata ha messo Lupin/3 all’angolo proponendogli la successione an, che rispetta la seguente legge: per ogni n > 1 si ha che an = an−1 +2an−2 +3an−3 +…+(n−1)a1 e inoltre a1 = k per qualche k intero. Zenonigata chiede beffardo se Lupin/3 sappia calcolare la somma di tutti i valori di k per i quali esiste n tale che an = 2024. Il ladro, altrettanto beffardo, risponde correttamente e scappa, lasciando Zenonigata a mangiarsi le mani per l’occasione sprecata. Cosa ha risposto Lupin/3? Gara a Squadre 2024 – Semifinale 1 – Testi dei problemi – 2/2XXV Gara Nazionale a Squadre Semifinale 1 – Venerdì 3 Maggio 2024 Ministero dell’Istruzione e del Merito Soluzioni Nr. Problema
Topic: Geometria solida Metodo: Analisi per casi Area: Geometria Fonte: apri PDF p.13
Number of convex edges with sides of equilateral triangles side 1
On the scene of the crime, Hermite Poinsot finds a leaflet with a sequence of numbers: the first term is 1 while the ln-eighth term is the sum of the k-eighth term (where k is the entire part of the root of n) and the absolute value of the difference between n and the perfect square closest to it. Hercules notes that the difference between the last two numbers is 10: how long is the minimum sequence? Provide the exponent of 2 in prime factorization. 13. Scanning numbers A number n has a consecutive spelling if there is a sequence of at least two consecutive positive integers such that their sum is n. Among the various gadgets of Inspector Gauget is the consecutive meter: given a number n, the consecutive meter returns the number of consecutive scripts of n. To solve the last case, the inspector uses the consecutivometer on all numbers from 1 to 101 and sums all the values obtained. How much is this? 14. Call the firefighters! MontyHallbano had a blast: a terrorist cell hid a bomb in a circular round. The Commissioner has already managed to locate the round, because he knows that on the edges there are 3 angels: A and B at the ends of a diameter and the other angel X forms an angle \ XAB = 30°. In addition, with the clues collected, Fuzzy is drawing the map: he traces another diameter XY = 18m and calls C,D respectively the intersections between the AX and AY lines with the tangent to the round led by B. M and N are the midpoints of BX and BY . The bomb was placed at the intersection of the CM and DN lines. The gunmen need to know the precise distance of A from the bomb. How much is this distance in centimetres? 15. The suspect Hermite Poinsot is watching staged a magic game to confuse the detective. Initially he has 2 red balls in his hand; at each step he makes one of the following moves: adds a blue ball and a red ball; adds a blue ball and removes a red ball; adds two green balls. He declares that when he has 11 blue, 9 red and 4 green balls in his hand he will disappear, and he also wants to reach the goal using the minimum number of moves possible. How many ways can you do that? 16. Even this time, Inspector Zenonigata put Lupin/3 in the corner proposing the succession an, which follows the following law: for each n > 1 we have that an = an−1 +2an−2 +3an−3 +…+(n−1)a1 and also a1 = k for some whole k. Zenonigata asks whether Lupin/3 knows how to calculate the sum of all the values of k for which n such as an = 2024 exists. The thief, equally mocked, responds correctly and escapes, leaving Zenonigata to eat his hands for the wasted opportunity. What did Lupin/3 say? Team competition 2024 Semifinal 1 Problem tests 2/2
XXV National Semifinal Team Competition 1 Friday 3 May 2024 Ministry of Education and Merit Solutions Nr. The problem