Area unione tre rettangoli su diagonali, AB=60 BC=80
Una crociera di relax Vennma, Daφne, Fredmath, S-Higgs con il loro fidato amico Scoobe-Zout sono in viaggio per raggiungere i genitori di Fredmath e partire per una rilassante crociera per festeggiare il suo compleanno. Durante il viaggio, tra una chiacchiera e l’altra, Vennma disegna sul suo quadernino un rettangolo ABCD con AB = 60mm e BC = 80mm. Sulla diagonale AC costruisce un rettangolo in modo tale che AC sia un lato ed il lato ad esso opposto passi per B. Allo stesso modo su BD costruisce un rettangolo passante per A. Daφne prende il rossetto e colora tutta la figura e infine esclama: “Ora è molto meglio!”. Calcolare l’area colorata ovvero l’area dell’unione dei tre rettangoli.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: 8925 Fonte: apri PDF p.7
Area of union three rectangles on diagonals, AB=60 BC=80
A relaxing cruise Vennma, Dafnne, Fredmath, S-Higgs and their trusted friend Scoobe-Zout are on their way to meet Fredmath’s parents and set off on a relaxing cruise to celebrate his birthday. During the trip, between one chatter and the other, Vennma draws on his notebook an ABCD rectangle with AB = 60mm and BC = 80mm. On the diagonal AC constructs a rectangle such that AC is one side and the side opposite it passes through B. Similarly on BD it builds a rectangle passing through A. Dafnne takes the lipstick and colours the whole figure and finally exclaims: “Now it’s much better!” Calculate the colored area or the area of the union of the three rectangles.
Answer: 8925 src_squadre_2024_finale__Q01
Somma numeri 2 cifre uguali a quadrato decine piu cubo unita
Cocktail di Benvenuto Finalmente si parte per la crociera, e tutto inizia nel migliore dei modi: con un aperitivo inaugurale. S-Higgs e Scoobe-Zout hanno già l’acquolina in bocca, ma scoprono che per poter partecipare al buffet bisogna trovare un numero n di due cifre uguale alla somma tra il quadrato della cifra delle decine e il cubo della cifra delle unità. Determinare la somma di tutti i numeri con queste proprietà.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0106 Fonte: apri PDF p.7
*sum of two digits equal to the square of tens plus cubes *
Welcome Cocktail Finally set off for the cruise, and it all starts in the best way possible: with an inaugural aperitif. S-Higgs and Scoobe-Zout already have water in their mouths, but they discover that in order to participate in the buffet you have to find a two-digit number n equal to the sum between the square of the number of tens and the cube of the number of units. Determine the sum of all numbers with these properties.
Answer: 0106 src_squadre_2024_finale__Q02
Tassellazioni corridoio 2x6 con tessere 1x2 e 1x3
Visita alla nave Summy Suy Deevysori, la direttrice della crociera, conduce il gruppo di visitatori alla scoperta delle meraviglie della nave: le piscine ottagonali, la stanza dei rompicapo, la palestra della mente e si ferma davanti ad uno stretto corridoio 2m×6m che deve ancora essere piastrellato. Summy invita a tassellarlo completamente usando solo materassini da 1m×2m o da 1m×3m, senza sovrapposizioni. In quanti modi diversi possono raggiungere l’obiettivo?
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.7
2x6 corridor layouts with 1x2 and 1x3 tiles
Visiting the ship Summy Suy Deevysori, the cruise director, leads the group of visitors to discover the wonders of the ship: the octagonal swimming pools, the puzzle room, the mind’s gym and stops in front of a narrow corridor of 2m that still has to be tiled. Summy recommends that it be completely towed using only 1m×2m or 1m×3m mattresses, without overlapping. How many different ways can they achieve the objective?
Answer: 0030 src_squadre_2024_finale__Q03
p(2024) con p(2R)=2p(R)+2R^2-1 e somma coefficienti 2
Biglietto da visita Summy li saluta dando loro il biglietto da visita del Capitano Kronecker. Sul biglietto è scritta un’espressione letterale. Fredmath osserva che l’espressione è un polinomio e la somma dei coefficienti è 2. Vennma fa notare a tutti che il polinomio calcolato nel doppio NON è uguale al doppio del polinomio. La differenza è il doppio del quadrato della variabile diminuito di 1. Allora Daφne annota p(2R) = 2p(R)+2R2 −1. Summy ricorda che per poter incontrare il Capitano Kronecker dovranno trovare il valore del polinomio calcolato in 2024. Quale numero permetterà loro di incontrare il capitano?
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi Risposta: 6577 Fonte: apri PDF p.7
p(2024) with p(2R)=2p(R) +2R^2-1 and sum of coefficients 2
Summy greets them by giving them Captain Kronecker’s business card. The note has a literal expression. Fredmath notes that the expression is a polynomial and the sum of the coefficients is 2. Vennma points out that the polynomial calculated in the double is NOT the same as the double of the polynomial. The difference is twice the square of the diminished variable of 1. So Dafn notes that p ((2R) = 2p ((R) + 2R2 −1. Summy recalls that in order to meet Captain Kronecker they’ll have to find the value of the polynomial calculated in 2024. Which number will allow them to meet the captain?
Answer: 6577 src_squadre_2024_finale__Q04
Massimo coefficiente dispari nello sviluppo di (x+y)^13
Il quesito del capitano Arrivati dal Capitano Kronecker, egli esordisce dicendo “Come avrete capito dal mio biglietto da visita sono un appassionato di polinomi. Uno dei miei quesiti preferiti è: quanto vale il più grande coefficiente dispari nello sviluppo di (x+y)13?” Quanto vale la risposta?
Topic: Combinatoria Metodo: congruenze Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1287 Fonte: apri PDF p.7
Maximum odd coefficient in the development of (x+y)
Captain Kronecker’s arrivals, he begins by saying, “As you may have guessed from my business card, I am a polynomial enthusiast. One of my favorite questions is: What is the greatest odd coefficient in the development of (x+y)13? What is the answer?
Answer: 1287 src_squadre_2024_finale__Q05
Volume amuleto dopo cubo-ottaedro-cubo
Incontri inquietanti Scoobe-Zout ha incontrato sulla nave un tizio con l’impermeabile dall’aria un po’ inquietante. Immediatamente fugge e salta tra le braccia di S-Higgs che vedendolo così spaventato decide di costruirgli un amuleto per proteggerlo. All’inizio S-Higgs prende un cubo di legno di 10000mm3. Tuttavia, poiché Scoobe-Zout preferisce gli ottaedri, S-Higgs usa il suo seghetto di precisione e taglia il cubo ottenendo un ottaedro che ha per vertici i centri delle facce del cubo. Finita l’operazione, però, Scoobe-Zout gli ricorda che nella tradizione inca gli ottaedri sono maledetti. Allora, di tutta fretta, S-Higgs ri-taglia l’ottaedro ottenendo un cubo che ha per vertici i centri delle facce dell’ottaedro. Quanto vale, in millimetri cubi, il volume dell’amuleto? Gara a Squadre 2024 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 1/4
Topic: Geometria solida Area: Geometria Risposta: 0370 Fonte: apri PDF p.7
Volume of amulets after cube-octahedron-cube
Scoobe-Zout met a guy on the ship with a somewhat disturbing airtight. Immediately he escapes and jumps into the arms of S-Higgs who, seeing him so frightened, decides to build him an amulet to protect him. At the beginning S-Higgs takes a wooden cube of 10000mm3. However, as Scoobe-Zout prefers octahedra, S-Higgs uses his precision saw and cuts the cube to obtain an octahedra that has the centers of the cube’s faces to top. When the operation is over, Scoobe-Zout reminds him that in the Inca tradition octahedra are cursed. Then, quickly, S-Higgs re-shapes the octahedron to get a cube that has the centers of the octahedron’s faces to top. What is the value in cubic millimetres of the volume of the amulet? 2024 Team Competition National Final Problem Tests 1/4
Answer: 0370 src_squadre_2024_finale__Q06
Numero 4 cifre con n=a^a+b^b+c^c+d^d
Per un tuffo in piscina! Fredmath non vede l’ora di disfare la valigia e mettersi il costume, ma arrivato alla camera scopre che per entrare deve digitare una combinazione: un numero n di esattamente 4 cifre, tutte diverse da zero, tale che n = aa +bb +cc +dd dove a,b,c,d sono rispettivamente le cifre delle migliaia, delle centinaia, delle decine e delle unità di n. Qual è la combinazione agognata?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3435 Fonte: apri PDF p.7
Number 4 digits with n = a^a+b^b+c^c+d^d
For a swim in the pool! Fredmath doesn’t see the time to unpack and put on his suitcase, but when he gets to the room he discovers that to enter he has to type a combination: a number n of exactly 4 digits, all different from zero, such that n = aa +bb +cc +dd where a,b,c,d are the digits of the thousands, the hundreds, the tens and the units of n respectively. What’s the right combination?
Answer: 3435 src_squadre_2024_finale__Q07
1000BC con circonferenza per D,E,S tangente a BC*
Sbirciando problemi Vennma arriva vicino alla piscina per incontrare Fredmath, ma si distrae notando che ci sono un po’ di persone che chiacchierano sulle sdraio. Riesce a sbirciare un foglio dove legge: “Dato ABC un triangolo con AB = 1 e AC = 2, sia Γ la sua circonferenza circoscritta, di centro O. Siano D e S rispettivamente le intersezioni dell’altezza da A e del prolungamento di AO con Γ. Inoltre AO interseca la retta BC in E. Sapendo che la circonferenza passante per D,E,S tange la retta BC, determinare 1000 BC”. Vennma si avvicina al gruppo ed esclama “Beh, ma è facile, la
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi, congruenze Area: Geometria Risposta: 2236 Fonte: apri PDF p.7
1000BC with circumference for D,E,S tangent to BC*
Looking for trouble, Vennma arrives near the pool to meet Fredmath, but is distracted by noticing that there are a few people chatting about the drain. He can peek at a sheet where he reads: Given ABC a triangle with AB = 1 and AC = 2, both Γ its circumscribed circumference, of center O. The intersections of height from A and AO extension with Γ are D and S respectively. In addition, AO intersects the BC straight into E. Knowing that the circumference passing through D,E,S is the straight line BC, determine 1000 BC”. Vennma approaches the group and exclaims “Beh, but it’s easy, the
Answer: 2236 src_squadre_2024_finale__Q08
Massimo n con somma 24 numeri x un 3 cifre quadrato perfetto
Partitina a carte I genitori di Fredmath stanno giocando con un mazzo di 9 carte numerate da 1 a 9. Summy si avvicina, prende 4 carte e chiede: “Quanti sono i diversi modi di ordinare queste carte?”, Scoobe-Zout risponde: “Scambiando la posizione delle 4 carte si possono ottenere 24 numeri di 4 cifre, tutti diversi.” Allora S-Higgs chiede: “E se li sommassi tutti e 24 che numero otterrei?” Vennma osserva prontamente: “Dipende dalle carte, ma moltiplicando questa somma per un numero di esattamente tre cifre è possibile ottenere un quadrato perfetto n2.” Al variare della scelta delle 4 carte iniziali, quanto vale al massimo n?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6666 Fonte: apri PDF p.7
Maximum n with sum of 24 digits x one perfect 3-digit square
Fredmath’s parents are playing with a deck of nine cards numbered 1 to 9. Summy approaches, takes 4 cards and asks: How many different ways are there to order these cards?, Scoobe-Zout answers: By changing the position of the 4 cards you can get 24 numbers of 4 digits, all different. Then S-Higgs asks: And if I added them all and 24 what number would I get? Vennma observes promptly: It depends on the cards, but by multiplying this sum by a number of exactly three digits you can get a perfect square n2. When you vary the choice of the initial 4 cards, what is the maximum value of n?
Answer: 6666 src_squadre_2024_finale__Q09
Colorazioni finali griglia 2024x2024, somma esponenti
Mandala extra-large Sul ponte della nave c’è un gigantesco pannello formato da 2024×2024 caselle, inizialmente bianche, con il titolo “Keep calm and color on”. Vennma e Daφne per rilassarsi iniziano a colorarle a turno: Vennma con il blu e Daφne con il rosso. Vennma seleziona a caso una casella qualsiasi della griglia e la colora. Poi Daφne sceglie un quadrato 2 × 2 contenente la casella appena colorata e colora le 3 caselle ancora bianche. Dopodiché Vennma sceglie un quadrato 3×3 contenente tutte e 4 le caselle già scelte e colora le 5 restanti. Continuano così, alternandosi, fino al 2024-esimo passaggio, in cui Daφne colora le ultime 4047 caselle bianche. Quante sono le possibili colorazioni finali della griglia? Fornire come risposta la somma degli esponenti della fattorizzazione in fattori primi.
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4046 Fonte: apri PDF p.7
Final grid colours 2024x2024, sum of exponents
Mandala extra-large On the deck of the ship there is a gigantic panel made up of 2024 boxes, initially white, with the title Keep calm and color on. To relax, Vennma and Dafnne begin to color them in turn: Vennma with blue and Dafnne with red. Vennma randomly selects any grid and colour box. Then Dafnne chooses a square 2 × 2 containing the newly coloured box and colours the 3 remaining white boxes. Vennma then chooses a square 3×3 containing all 4 of the boxes already selected and colours the remaining 5. They continue to do so, alternating, until the 2024th stage, when Dafnne stains the last 4047 white boxes. How many possible final grille colors are there? Provide the sum of the exponents of factorization in prime factors as a response.
Answer: 4046 src_squadre_2024_finale__Q10
Sequenze di 4 lanci dado per tornare alla casella 1
L’anello degli indovinelli Sulla terrazza scoperta c’è un percorso ad anello formato da 20 caselle numerate in ordine da 1 a 20. Fredmath vuole giocare e si posiziona sulla casella 1, lancia un classico dado gigante a 6 facce e avanza di quanto indicato; gli viene posto un indovinello, se risponde correttamente comincia un nuovo turno tirando il dado, se sbaglia, invece, torna indietro di 2 caselle e poi comincia un nuovo turno tirando il dado. Può fare tutti i turni che vuole: è solo una sfida con se stessi. Sapendo che tutti gli indovinelli sono facili per lui e risponde correttamente a tutti, tranne a quello della casella 6, quante sono le possibili sequenze di 4 lanci del dado per le quali Fredmath torna esattamente sulla casella 1?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0028 Fonte: apri PDF p.7
Sequences of 4 dice to return to box 1
The Ring of Riddles On the open terrace there is a ring path made up of 20 boxes numbered in the order of 1 to 20. Fredmath wants to play and places himself on box 1, throws a classic giant 6-sided dice and advances the indicated; he is given a riddle, if he answers correctly he starts a new turn by throwing the dice, if he makes a mistake, instead, he returns back 2 boxes and then starts a new turn by throwing the dice. He can do whatever shifts he wants. It’s just a challenge to himself. Knowing that all the riddles are easy for him and he answers all correctly except box 6, how many sequences of four dice rolls are possible for Fredmath to return to box 1 exactly?
Answer: 0028 src_squadre_2024_finale__Q11
Numero minimo salatini con divisioni k/(k+1) senza resti
Evviva la cena! C’è un tavolo pieno di deliziosi salatini. Il cameriere deve distribuire i salatini ai 6 ospiti: prima a S-Higgs che è il più affamato, poi a Fredmath, a sua madre, a suo padre, a Vennma e infine a Daφne. Prepara le porzioni con un elaborato cerimoniale: dà un salatino a Scoobe-Zout e la metà dei salatini restanti al primo ospite; poi dà due salatini a Scoobe-Zout e 2 3 dei rimanenti al secondo ospite e continua così dando k salatini a Scoobe-Zout e k k+1 dei rimanenti al k-esimo ospite. S-Higgs sta per addentare il suo primo salatino, ma il cameriere lo ferma e gli dice: “Sono riuscito a fare tutte le suddivisioni senza resti, senza dividere i salatini e tutti ne hanno ricevuto almeno uno. Indovina un po’ quanti salatini ho distribuito?” Qual era il numero minimo di salatini inizialmente sul tavolo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0079 Fonte: apri PDF p.7
Minimum number of lettuces with k/(k+1) divisions without residues
Enjoy the dinner! There’s a table full of delicious salads. The waiter has to distribute the salads to the 6 guests: first to S-Higgs who is the most hungry, then to Fredmath, to his mother, to his father, to Vennma and finally to Dafnne. He prepares the portions with a ceremonial elaboration: he gives a salad to Scoobe-Zout and half the remaining salad to the first guest; then he gives two salad to Scoobe-Zout and 2 3 of the remaining salad to the second guest and continues thus giving k salad to Scoobe-Zout and k k+1 of the remaining salad to the k-eighth guest. S-Higgs is about to make his first salad, but the waiter stops him and says, “I’ve managed to do all the subdividing without any residue, without dividing the salads, and everyone has at least one. Guess how many salads I’ve distributed? What was the minimum number of salads on the table at first?
Answer: 0079 src_squadre_2024_finale__Q12
Minimo n con n meno rovescio uguale a 12345678
Conto alla rovescia Durante la cena Summy presenta a tutti lo spettacolo di Mr MeeStern-Volmer, era lui il tizio inquietante. Durante lo spettacolo Mr MeeStern-Volmer scandisce con voce ritmata che: “Il rovescio di un intero positivo è l’intero positivo che si ottiene scrivendo le sue cifre al contrario. Ad esempio, il rovescio di 8267 è 7628 e il rovescio di 15620 è 2651.” Dicendo questo ipnotizza tutto l’equipaggio e i passeggeri, tranne Scoobe-Zout e S-Higgs che sono concentrati sul cibo. Per poter interrompere lo stato di trance dovranno trovare il più piccolo intero positivo n tale che n meno il rovescio di n sia uguale a 12345678. Qual è il numero per uscire dalla trance? Gara a Squadre 2024 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 2/4
Seconda parte: l’enigma della crociera Appena tutti si svegliano dalla trance, la nave da crociera viene assalita da pirati fantasma, guidati dal Capitan BarbaAlberta: essi rapiscono tutti i passeggeri e fanno affondare la nave, lasciando indietro solo S-Higgs, Fredmath, Vennma, Daφne e il fido Scoobe-Zout.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6080 Fonte: apri PDF p.8
Minimum n with n less reverse equal to 12345678
Reverse count During dinner Summy introduced everyone to Mr. MeeStern-Volmer’s show, he was the creepy guy. During the show Mr MeeStern-Volmer sings in a rhythmic voice that: The inverse of a positive integer is the positive integer that is obtained by writing its numbers in reverse. For example, the reverse of 8267 is 7628 and the reverse of 15620 is 2651. Saying this hypnotizes all crew and passengers, except Scoobe-Zout and S-Higgs who are focused on food. In order to break the trance state, they need to find the smallest positive integer n such that the inverse of n is equal to 12345678. What’s the number to get out of the trance? 2024 Team Competition National Final Problem Tests 2/4
Second part: the cruise mystery As soon as everyone wakes up from the trance, the cruise ship is attacked by ghost pirates, led by Captain BarbaAlberta: they kidnap all the passengers and sink the ship, leaving behind only S-Higgs, Fredmath, Vennma, Dafnne and the trusted Scoobe-Zout.
Answer: 6080 src_squadre_2024_finale__Q13
Probabilita due percorsi minimi disgiunti su griglia 2024
Verso il nascondiglio di BarbaAlberta [⋆⋆] Per andare dal punto del naufragio al nascondiglio segreto di BarbaAlberta si seguono i lati delle caselle di una griglia di 2024×2024 quadretti. La nave pirata segue un percorso, il gruppo di Scoobe-Zout un altro. Sapendo che entrambe le compagini sono partite insieme da un vertice della griglia e arriveranno al vertice opposto seguendo un percorso minimo, se avessero scelto a caso i due percorsi, quale sarebbe stata la probabilità che i loro percorsi avessero come punti in comune solo quello iniziale e quello finale? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.
Topic: Combinatoria, Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8095 Fonte: apri PDF p.9
Probability of two minimum disjoint paths on the 2024 grid
Towards the BarbaAlberta hiding place [⋆⋆⋆] To go from the wreck point to the BarbaAlberta secret hiding place you follow the sides of the boxes of a 2024×2024 square grid. The pirate ship follows one path, Scoobe-Zout’s group another. Knowing that the two companions started together from a top of the grid and will arrive at the opposite top following a minimum path, if they had chosen the two paths at random, what would be the probability that their paths would have only the beginning and the end points in common? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms.
Answer: 8095 src_squadre_2024_finale__Q14
Pirati in missione con am>m da ricorrenza razionale
Ciurma, all’arrembaggio! Arrivati al nascondiglio di BarbaAlberta, nemmeno il tempo di guardarsi attorno, che arriva anche il vascello pirata. Su di esso c’è il capitano BarbaAlberta e altri 2024 pirati, che per comodità sono numerati da 1 a 2024; al pirata m BarbaAlberta assegna un numero razionale positivo am in modo tale che, per m = 31,32,…,2024, si abbia am = m2 max1≤l≤30{l +am−l}. I pirati tali che am > m vengono spediti dal capitano in missione a catturare gli intrusi. Quanti sono i pirati mandati in missione? Fornire la somma di tutte le possibili risposte.
Topic: successioni Metodo: Conteggio combinatorio, monovarianti Area: Algebra e Analisi Risposta: 2820 Fonte: apri PDF p.9
*Pirates on missions with a rational frequency *
Shut up, we’re going down! You’ve arrived at BarbaAlberta’s hideout, not even time to look around, which is also the pirate ship arriving. On it is Captain BarbaAlberta and other 2024 pirates, who for convenience are numbered from 1 to 2024; to the pirate m BarbaAlberta assigns a positive rational number am such that, for m = 31,32,…,2024, one has am = m2 max1≤l≤30{l +am−l}. The pirates are sent by the captain on a mission to capture the intruders. How many pirates are on the mission? Provide the sum of all possible answers.
Answer: 2820 src_squadre_2024_finale__Q15
Spettro del polinomio (x-2)(x+2)(x^2+x+1)(x^2-x+1)
La cabina di BarbaAlberta [⋆⋆] Vennma pensa: “BarbaAlberta sta nascondendo qualcosa: non posso aver visto degli aerei della Prima guerra mondiale volare sopra di noi”. Indaga allora con Daφne sottocoperta fino a trovare il lucchetto a combinazione della cabina di BarbaAlberta, recante la scritta “lo spettro di (x−2)(x+2)(x2 +x+1)(x2 −x+1)”. “Calzante, lo spettro di un polinomio a coefficienti interi per un pirata fantasma!” esclama Daφne. Vennma riflette: “Sono certa che lo spettro è un numero intero e, sommando gli spettri di tutti i polinomi figli di un polinomio p, si ottiene esattamente il valore del polinomio p calcolato nel suo grado!” Allora Daφne puntualizza: “Certo! E i polinomi figli di p(x) sono quelli monici1 a coefficienti interi che dividono il polinomio e il cui grado divide il grado di p(x). Sorprendentemente ogni polinomio monico è figlio di se stesso.” Qual è la combinazione del lucchetto della cabina di BarbaAlberta?
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Area: Algebra e Analisi Risposta: 2530 Fonte: apri PDF p.9
*Spectre of the polynomial (x-2)
Vennma thinks: BarbaAlberta is hiding something: I can’t have seen World War I planes fly over us. Then check with Dafnne undercover until you find the combination lock in BarbaAlberta’s cabin, bearing the inscription the spectrum of (x−2)(x+2)(x2 +x+1)(x2 −x+1). Heat, the spectrum of a polynomial with integer coefficients for a ghost pirate! exclaims Dafnne. Vennma reflects: I am sure that the spectrum is an integer number and, adding up the spectra of all polynomials of a polynomial p, you get exactly the value of the polynomial p calculated in its degree! Then Dafnne points out: Certainly! And the polynomials that are children of p(x) are those that have whole coefficients that divide the polynomial and whose degree divides the degree of p(x). Surprisingly, each monic polynomial is a child of its own. What is the combination of the BarbaAlberta cabin lock?
Answer: 2530 src_squadre_2024_finale__Q16
Lunghezza XY x100 con bisettrice e circonferenze circoscritte
Interrogando le stelle Per trovare il centro del pentagono delle Permuda devono ritrovare nel cielo le stelle rappresentate in un antico dipinto. Le stelle A, B, C e D formano un quadrilatero in cui AB = 6, BC = 12, la diagonale AC = 16, tale che la diagonale BD bisechi l’angolo
ABC, e detta E l’intersezione delle diagonali, si abbia BE ·ED = 21. Si traccino le circonferenze C1 e C2, circoscritte rispettivamente ai triangoli ABD e BCD. Esse intersecano AC rispettivamente in G e F. Le rette DF e DG intersecano infine i lati AB e BC rispettivamente in X e Y . Determinare la lunghezza di XY moltiplicata per 100.
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0802 Fonte: apri PDF p.9
Length XY x100 with beam and circumscribed circumference
To find the center of the Permuda Peninsula, you must find in the sky the stars depicted in an ancient painting. The stars A, B, C and D form a quadrilateral in which AB = 6, BC = 12, the diagonal AC = 16, such that the diagonal BD bisects the angle \ ABC, and said E the intersection of the diagonals, we have BE ·ED = 21. The circumferences C1 and C2 are traced, bounded by the triangles ABD and BCD respectively. They intersect AC in G and F respectively. Finally , the DF and DG lines intersect the sides AB and BC respectively in X and Y . Determine the length of XY multiplied by 100.
Answer: 0802 src_squadre_2024_finale__Q17
Perimetro pentagono ciclico lati interi, BAE=120
Pentagono delle Permuda [⋆] Con l’abbassarsi della marea, riaffiorano dalle acque cinque spuntoni di roccia posti ai vertici di un pentagono ABCDE inscritto in una circonferenza di raggio 43 √ 3. AB = BC,DE = EA e tutti i suoi lati hanno lunghezze espresse da numeri interi. Inoltre
BAE = 120°. Quanto vale il perimetro di ABCDE?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Area: Geometria Risposta: 0417 Fonte: apri PDF p.9
Cyclic pentagon perimeter of whole sides, BAE=120
As the tide descends, five rocky spots emerge from the water at the summits of an ABCDE pentagon inscribed in a radius of 43 √ 3. AB = BC, DE = EA and all its sides have lengths expressed as integers. In addition \ BAE = 120°. How much is the perimeter of ABCDE?
Answer: 0417 src_squadre_2024_finale__Q18
Area proiezione intersezione di due coni
Ponte temporale [⋆] Capitan BarbaAlberta spiega alla sua ciurma che per dominare i sette mari incontrastati devono aprire un portale con il passato. Il passaggio dal presente al passato è un cono con raggio di base 10m che scende verso gli abissi; il passaggio dal passato al presente è un cono identico ma ribaltato tale che il suo asse sia parallelo a quello del primo, il cui vertice sta sulla base del primo cono a distanza 6m dal centro della base. Considerata l’intersezione dei due coni e la sua proiezione sul piano che contiene la base del primo, il portale si attiva solo trovando l’area della regione di piano contenuta nella curva ottenuta tramite la proiezione. Quale numero attiverà il portale?
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Area: Geometria Risposta: 0062 Fonte: apri PDF p.9
Intersection of two cones projection area
Captain Barba Alberta explains to his crew that to dominate the seven unchallenged seas they must open a portal to the past. The passage from the present to the past is a cone with a base radius of 10 m that descends into the abyss; the passage from the past to the present is an identical but reversed cone such that its axis is parallel to that of the first, whose top is at the base of the first cone at a distance of 6 m from the center of the base. Given the intersection of the two cones and its projection on the plane containing the base of the first, the portal is activated only by finding the area of the plane region contained in the curve obtained by the projection. Which number will activate the portal?
Answer: 0062 src_squadre_2024_finale__Q19
Coppie iniziali con strategia vincente nel gioco (x,y)
Lo scontro finale Gli scheletri pirati sono ancora alle prese con la geometria solida quando ecco nel cielo apparire una nave aliena: sono Daφne e Fredmath mascherati. Daφne e BarbaAlberta iniziano il duello finale che consiste in questo gioco: si parte con una coppia di interi positivi (x,y). La mossa da effettuare ad ogni turno consiste nel cambiare la coppia presente (x,y) con una coppia (z,y −z), dove 1 ≤z ≤x; il secondo numero, però, non può mai diventare negativo. Vince chi per primo riesce a cambiare la coppia in modo che il secondo numero sia 0. Per quante coppie iniziali con 1 ≤x,y ≤100 Daφne ha una strategia vincente, sapendo che inizia per prima? 1un polinomio si dice monico se il coefficiente del termine di grado massimo è uguale ad 1. Gara a Squadre 2024 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 3/4
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9724 Fonte: apri PDF p.9
*Initial pairs with winning strategy in the game (x,y) *
The pirate skeletons are still grappling with solid geometry when an alien ship appears in the sky: they’re Dafnne and Fredmath masked. Dafnne and BarbaAlberta begin the final duel consisting of this game: it starts with a pair of positive integers (x,y). The move to be made at each turn is to change the present pair (x,y) with a pair (z,y −z), where 1 ≤z ≤x; the second number, however, can never become negative. The winner is the first one who can change the pair so that the second number is 0. For how many initial pairs with 1 ≤x,y ≤100 does Daφne have a winning strategy, knowing that it starts first? 1a polynomial is said to be monic if the coefficient of the maximum degree term is equal to 1. 2024 Team Competition National Finals Problem Tests 3/4
Answer: 9724 src_squadre_2024_finale__Q20
Somma pesi dei divisori di 2310
L’ultimo enigma Scoobe-Zout e i suoi amici hanno smascherato Mr MeeStern-Volmer e la sua messa in scena: attraverso l’ipnosi aveva arruolato i passeggeri come spettri pirata per impadronirsi dell’oro nascosto nel pentagono. Finita l’avventura, per festeggiare, Summy Suy Deevysori propone un ultimo enigma: calcolare la somma dei pesi dei divisori positivi di 2310, dove il peso di un numero naturale n è il quoziente tra il quadrato del numero dei divisori positivi di n e il numero n stesso. Qual è la soluzione dell’ultimo enigma di Summy? Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini. Gara a Squadre 2024 – Finale Nazionale – Testi dei problemi – 4/4
XXV Gara Nazionale a Squadre Finale Nazionale – Sabato 4 Maggio 2024 Ministero dell’Istruzione e del Merito Soluzioni Nr. Problema
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0028 Fonte: apri PDF p.9
Total weights of the dividers of 2310
The last riddle Scoobe-Zout and his friends unmasked Mr MeeStern-Volmer and his staging: through hypnosis he had enlisted passengers as pirate ghosts to seize the gold hidden in the pentagon. When the adventure is over, to celebrate, Summy Suy Deevysori proposes a final puzzle: calculate the sum of the weights of the positive divisors of 2310, where the weight of a natural number n is the quotient between the square of the number of positive divisors of n and the number n itself. What’s the solution to Summy’s last riddle? Answer the sum of the numerator and denominator of the reduced fraction to the minimum terms. Team competition 2024 National final Problem tests 4/4
XXV National Final Team Competition Saturday 4 May 2024 Ministry of Education and Merit Solutions Nr. The problem
Answer: 0028 src_squadre_2024_finale__Q21